jueves, 2 de agosto de 2007

Operaciones

Enunciado

La primera de estas preguntas se trata, en realidad, de una suma de las llamadas telescópicas. En lugar de sumar uno por uno todos los sumandos, debemos agruparlos a pares consecutivos, por ser más sencilla su suma. Así, 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + 99 - 100 pasa a ser (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + ... + (99 - 100), es decir, (-1) + (-1) + (-1) + ... + (-1), donde aparecen 50 sumandos iguales, es decir, que esa suma es -50.

La segunda de las cuestiones trata de obtener la cantidad de páginas de un libro a partir de la suma de la cantidad de dígitos con los que se ha numerado, 2989. Revisemos la cantidad de dígitos que se usan para las primeras páginas, hasta llegar a esa cifra.

Para las 9 primeras páginas, usamos un dígito para cada una, es decir, 9 dígitos en total. Las páginas desde la 10 hasta la 99 (90 en total) necesitan dos dígitos, con lo que usaremos 90*2 = 180 dígitos más, que sumados a los 9 anteriores hacen un total de 189 dígitos hasta la página 99.

A partir de la página 100, hasta la 999 (900 en total) necesita cada una tres dígitos, es decir, que podríamos usar 900*3 = 2700 dígitos en total para numerarlas. Sumados a los empleados anteriormente, tenemos 2700 + 189 = 2889. Esta cifra es muy próxima a la que necesitamos, 2989, de hecho sólo hemos de emplear 2989 - 2889 = 100 dígitos más.

Como las páginas a partir de la 1000 necesitan 4 dígitos cada una, sólo podemos numerar 100/4 = 25 páginas más, hasta llegar a la 1024.

Por tanto, el libro tiene 1024 páginas.

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