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Enunciado

La primera de estas preguntas se trata, en realidad, de una suma de las llamadas telescópicas. En lugar de sumar uno por uno todos los sumandos, debemos agruparlos a pares consecutivos, por ser más sencilla su suma. Así, 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + 99 - 100 pasa a ser (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + ... + (99 - 100), es decir, (-1) + (-1) + (-1) + ... + (-1), donde aparecen 50 sumandos iguales, es decir, que esa suma es -50.

La segunda de las cuestiones trata de obtener la cantidad de páginas de un libro a partir de la suma de la cantidad de dígitos con los que se ha numerado, 2989. Revisemos la cantidad de dígitos que se usan para las primeras páginas, hasta llegar a esa cifra.

Para las 9 primeras páginas, usamos un dígito para cada una, es decir, 9 dígitos en total. Las páginas desde la 10 hasta la 99 (90 en total) necesitan dos dígitos, con lo que usaremos 90*2 = 180 dígitos más, que sumados a los 9 anteriores hacen un total de 189 dígitos hasta la página 99.

A partir de la página 100, hasta la 999 (900 en total) necesita cada una tres dígitos, es decir, que podríamos usar 900*3 = 2700 dígitos en total para numerarlas. Sumados a los empleados anteriormente, tenemos 2700 + 189 = 2889. Esta cifra es muy próxima a la que necesitamos, 2989, de hecho sólo hemos de emplear 2989 - 2889 = 100 dígitos más.

Como las páginas a partir de la 1000 necesitan 4 dígitos cada una, sólo podemos numerar 100/4 = 25 páginas más, hasta llegar a la 1024.

Por tanto, el libro tiene 1024 páginas.