Una serie de raíces

Enunciado

Cuando trabajas con fracciones de denominador irracional, una de las estrategias más útiles es la racionalización, esto es, encontrar una fracción equivalente con denominador entero. El sistema consiste básicamente en multiplicar numerador y denominador por una expresión similar, pero con el signo que marca la operación de suma o resta cambiado.

Cuando hacemos esto, al multiplicar una suma por una diferencia (ambas tienen los mismos términos), obtenemos una diferencia de cuadrados (es decir, los términos cruzados salen de diferente signo y se anula). Como consecuencia, las raíces cuadradas desaparecen al resultar elevadas al cuadrado. Claro, que sólo podemos eliminar las raíces del denominador, apareciendo entonces en el numerador.

En nuestro ejemplo, si tomamos la fracción (como ejemplo) uno partido por la suma de las raíces de 2 y de 3, podemos probar a multiplicar denominador y numerador por la diferencia de raíz de 3 menos raíz de 2. En el numerador queda esta diferencia (raíz de 3 menos raíz de 2) y el denominador queda 3 menos 2 (las raíces quedan elevadas al cuadrado), es decir, 1.

serie racionalizada

Esto mismo podemos repetirlo en todos los términos, quedando una serie como la que aparece en la expresión del dibujo.

Por si no se viese, la expresión es raíz de 2 menos raíz de 1 más raíz de 3 menos raíz de 2, y así sucesivamente, hasta llegar a la raíz de 100 menos la raíz de 99.

Este tipo de sumas se llaman telescópicas, ya que en cada término hay una parte que anula una parte del término siguiente. En realidad, podemos comprobar que se anula todo, excepto la raíz de 100 (con signo positivo) y la de 1 (con signo negativo), es decir, 10 menos 1, que da como resultado 9.