domingo, 1 de abril de 2007

Cuboctaedro

Enunciado

Supongo que todos sabéis que un cubo tiene seis caras: la superior, cuatro laterales y la inferior.

cara de cubo

cara de cubo

A la derecha, tenemos lo que le sucede a una de esas caras cuando convertimos un cubo en un cuboctaedro: se convierte en un cuadrado más pequeño. Los lados del nuevo cuadrado forman, con los fragmentos de los lados que se han suprimido, un triángulo rectángulo isósceles. Puesto que ambos catetos (los fragmentos suprimidos) miden 3 centímetros, la hipotenusa, es decir, el lado del nuevo cuadrado, mide raíz cuadrada de 18 (o si lo prefieres 3 por raíz de 2), como aplicación del Teorema de Pitágoras.

Es decir, que los nuevos cuadrados a los que han quedado reducidas las caras del cubo tienen un área de 18 centímetros cuadrados. Como son 6, el área total será de 108 centímetros cuadrados. Pero no son las únicas caras que tiene esta figura. Puedes apreciar que cada vértice (los "picos" en los que se juntan tres caras), al cortar la esquina, ha dado lugar a un triángulo, que es equilátero, y cuyos lados también miden raíz de 18 (va unido a tres cuadraditos).

altura de triángulo equilátero

altura de triángulo equilátero

Para calcular su área, necesitamos el dibujo de la izquierda, en el que se aprecia que la altura del triángulo forma, junto con medio lado y un lado completo, un triángulo rectángulo, de la que es cateto. Elevando al cuadrado y aplicando de nuevo el Teorema de Pitágoras, sale que el cuadrado de esta altura mide 18-18/4, es decir, 54/4. Por eso, su longitud (en centímetros) será la raíz cuadrada de 54 partido por 2 (si lo prefieres, 3 por raíz cuadrada de 6 partido por 2). Como el área del triángulo es base por altura partido por 2, en este caso será 9 por raíz cuadrada de 3, partido por 2 (observa que los factores bajo la raíz se pueden agrupar y extraer de ella).

¿Cuántos de estos triángulos hay? Uno por cada esquina (o vértice). Hay cuatro junto a la cara superior del cubo original y otras cuatro junto a la inferior. En total son 8, por lo que el área de los triángulos será 36 por raíz cuadrada de 3 centímetros cuadrados.

resultado

resultado

El área total, expresada en la imagen de la derecha, es la suma de ambas áreas, en centímetros cuadrados: 108 más 36 por la raíz cuadrada de 3, lo que hace un total aproximado de 170,3538 centímetros cuadrados.

¿Y el volumen? El volumen original del cubo es 6*6*6 = 216 centímetros cúbicos. A este volumen hay que quitarle las cuatro esquinas, cuya forma es la de una pirámide de base triangular. Para calcular el volumen de una de estas pirámides, debemos saber que el volumen de una pirámide es igual a la tercera parte del producto del área de la base por la altura.

pirámide eliminada

pirámide eliminada

En este caso, el sistema para calcularlo se ve muy simplificado, porque esta pirámide podemos situarla sobre cualquier base, ya que está formada en su totalidad por triángulos. Es sencillo entender que si escogemos como base cualquiera de las que antes era una cara de un cubo, la altura coincide con uno de los fragmentos de arista del cubo (ver imagen). El área de la base es, por tanto, 3*3/2, es decir, 9/2 centímetros cuadrados, y, puesto que la altura es 3, su volumen será 27/6 centímetros cúbicos.

Como el número de pirámides que hemos suprimido en total es 8 (las esquinas o vértices), el volumen total que hemos quitado del cubo es 8*27/6, es decir, 36 centímetros cúbicos. El volumen total del cuboctaedro, por tanto, es de 180 centímetros cúbicos.