Promediando coeficientes

Enunciado

Podemos optar, en estos casos, a experimentar un poco, pero será necesario tener cierto conocimiento sobre la relación entre los coeficientes y las soluciones o raíces de una ecuación.

Por si no te lo han explicado (fórmulas de Cardano-Vieta), la ecuación x² + ax + b = 0 tiene a lo sumo dos raíces, y, si las tiene y se llaman x₁ y x₂, entonces necesariamente el polinomio x² + ax + b = (x - x₁)(x - x₂). Observa que para que se dé esta situación, el coeficiente de la potencia mayor debe ser 1. Desarrollando el producto anteriormente citado, tenemos que (x - x₁)(x - x₂) = x² +(-x₁-x₂)x + x₁x₂, es decir, que el coeficiente a es x₁+x₂ cambiado de signo y el coeficiente b el producto x₁x₂. Esta relación de coeficientes y raíces es necesaria y suficiente, esto, es, sólo existe con las raíces y si existe con un conjunto de números, éstos coinciden con las raíces.

Así, si tenemos dos ecuaciones, en la que la primera tiene las raíces 2 y 5, y la segunda, 2 y 7, los coeficientes de la primera serán -7 y 10, y los de la segunda, -9 y 14. Promediando, obtendremos la ecuación de coeficientes -8 y 12, que tiene por soluciones 2 y 6. Podemos trazar, entonces, la hipótesis de que las soluciones parecen ser la que es común a todas las ecuaciones y otra que sería el promedio de todas ellas. Veamos si podemos demostrarlo.

Cada uno de los a_i es igual a -x₀-x_i, y cada uno de los b_i es igual a x₀x_i.

La suma de todos los a_i será igual, entonces a -nx₀-(x₁ + x₂ + ... + x_n).

Por otra parte, la suma de todos los b_i tendrá un factor común x₀, por lo que podrá expresarse como x₀(x₁ + x₂ + ... + x_n).

La ecuación que queremos resolver queda, por tanto, x² + ((a₁ + a₂+ ... + a_n)/n)x + ((b₁ + b₂ + ... + b_n)/n) = x² + (-nx₀/n-(x₁ + x₂ + ... + x_n)/n)x + x₀(x₁ + x₂ + ... + x_n)/n = x² + (-x₀-(x₁ + x₂ + ... + x_n)/n)x + x₀(x₁ + x₂ + ... + x_n)/n, que es el polinomio que tiene por raíces x₀ y (x₁ + x₂ + ... + x_n)/n (podemos substituir la x por cualquiera de los dos y se anula, o, más sencillo, comprobar la relación entre coeficientes y raíces).