Dividiendo el círculo

Enunciado

La pregunta parece estar orientada a que nos dejemos llevar por la regularidad y digamos que, como 1 da 2 partes y 2 resulta dividir en 4, con 3 segmentos se divide en 8 partes (lo que es imposible, como veremos) o en 6 (si tienen que ser partes iguales, esta sería la respuesta).

Pensando un poco, para que se divida una circunferencia en más partes, hace falta que el nuevo trazo corte a los anteriores, ya que los nuevos trozos deben tener un fragmento del segmento en su frontera, y este fragmento tendrá un principio y un final. Como tanto uno como otro se comparten con otras partes, basta contar cuántas veces podemos cortar los segmentos que ya existen.

Probemos con lo que ya sabemos. Pensemos en la circunferencia. Con un segmento (que corta a la circunferencia en 2 puntos) la dividimos en 2 partes. Al trazar un nuevo segmento, si corta al anterior, tendremos 1 punto de corte con segmentos y 2 con el borde de la circunferencia, lo que origina 4 partes. Observa que si no corta al anterior segmento, sólo divide la circunferencia en 3 partes, pero nos preguntan por el máximo número de partes.

Al trazar el tercer segmento, podemos hacer que corte a los dos anteriores, por lo que originará una parte al cortar a la circunferencia, y una por cada corte con los 2 segmentos, es decir, 3 partes nuevas, lo que hace un total de 4 + 3 = 7.

Si seguimos con el cuarto, cortará a los 3 anteriores, es decir, creará 4 nuevas partes, hasta un total de 11.

Con 5 segmentos, habrá que añadir 5 nuevas partes, lo que producirá 16 en total, aunque algunas de ellas tendrán un tamaño diminuto.

Suponiendo que conseguimos cortar todos los segmentos anteriores con cada uno nuevo que añadamos, al llegar a 10 habremos añadido 16 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 16 + 16*5/2 = 16 + 40 = 56.