La inecuación

Enunciado

Este ejercicio parece, engañosamente, sencillo. Trabajar con valores absolutos, inecuaciones y dos variables (o un parámetro y una variable) no es complejo por separado, pero veremos que al unirse las tres situaciones genera un trabajo en el que hay que concentrarse mucho y no perder de vista las condiciones que vayamos fijando.

Voy a dar un sistema para resolverla basado en el estudio detallado de la expresión. Podemos tener la tentación de elevar al cuadrado con ánimo de quitar el valor absoluto, dado que ambos son positivos, pero, aunque podría dar también fruto, requiere un estudio muy cuidadoso del problema. Es difícil encontrar problemas en los que este método sea de aplicación.

Para empezar, un valor absoluto es una función definida a trozos, es decir, se transforma en dos expresiones según que lo que guarda en su interior sea positivo o negativo. Antes de empezar a considerar valores para el parámetro, estudiaremos las expresiones a las que da lugar.

También debemos observar que un valor absoluto siempre es no negativo (puede alcanzar el 0), lo que en ocasiones simplifica trabajar con expresiones en las que aparece. Prestaremos atención al significado de esto.

Por otra parte, las desigualdades nos permiten operar de forma similar a como lo haríamos con igualdades, salvo que cuando multiplicamos o dividimos hay que tener en cuenta el signo del factor que utilizamos, pues puede (si es negativo) invertir la desigualdad. Sucede lo mismo si invertimos (en el sentido de inverso de la multiplicación) las expresiones.

Vamos a estudiar lo que sucede cuando x > 1. En ese caso, la desigualdad equivale a x - 1 < ax, es decir, (1 - a)x < 1, que se resolverá de distinta forma según que a sea mayor o menor que 1.

¿Y si x < 1? Entonces, tenenos que 1 - x < ax, por lo que 1 < (a + 1)x. De nuevo tenemos que habrá que hacer distinciones según que a sea mayor o menor que -1.

También podemos ver que ax es necesariamente positiva (es mayor que un valor absoluto), por lo que eso puede influir en definir el signo de x. Tal vez convenga distinguir, por eso, el signo de a.

Empecemos a estudiar las diferentes opciones que se plantean teniendo en cuenta estos valores. Primer caso, si a es menor que -1.

En este caso, como ax es positiva, x < 0. Como es menor que 1, se da la segunda de las opciones estudiadas, por lo que 1 < (a + 1)x. al ser el coeficiente de x negativo, tenemos que 1/(a + 1) > x. Eso quiere decir que x puede ser cualquier número negativo menor (mayor en valor absoluto) que 1/(a + 1).

Segundo caso, si a está comprendida entre -1 y 0 (-1 <= a < 0).

También x es negativa, por lo que es menor que 1, pero al llegar a 1 < (a + 1)x, el coeficiente es positivo, por lo que 1/(a + 1) < x. Pero eso significa que x es positivo, por lo que no hay soluciones.

En el caso a = -1 no hay soluciones, como puedes comprobar fácilmente.

Tercer caso, 0 <= a < 1.

El caso en que a = 0 no tiene tampoco soluciones, pues ax debe ser estrictamente positivo. Pero si a > 0, x también es positiva, y pueden darse dos casos. Si 0 < x < 1, llegamos a 1 < (a + 1)x, como antes, por lo que 1/(a + 1) < x < 1, que es un intervalo pequeño de soluciones. Pero también puede ser que x >= 1, con lo que (1 - a)x < 1. Esto, por ser a < 1, nos lleva a 1 <= x < 1/(1 - a). En definitiva, que 1/(a + 1) < x < 1/(1 - a) uniendo ambos intervalos.

Cuarto caso, 1 <= a.

De nuevo, tenemos que distinguir si x, que es positivo, es menor o mayor que 1. Si 0 < x < 1, tenemos que 1 < (a + 1)x, y de nuevo 1/(a + 1) < x < 1 es un intervalo de soluciones. Si x >= 1, entonces (1 - a)x < 1, pero en ese caso, al ser a > 1, el coeficiente es negativo, y x es positiva, según hemos dicho, por lo que la igualdad se cumple para cualquier x >= 1. La unión de los intervalos nos da la solución que 1/(a + 1) < x.

El apartado b), el estudio de las dos soluciones enteras, se limita al caso en que 0 < a < 1, y los valores enteros deben ser 1 y 2 (ya que el intervalo de soluciones siempre empieza por debajo de 1, y deben ser enteros consecutivos). Por eso, 1/(1 - a) estará entre 2 y 3, sin alcanzar ninguno de los dos. Operando con desigualdades, eso nos lleva a que a está entre 1/2 y 2/3.