Fracciones enteras

Enunciado

Aparentemente, el objetivo de este problema es que encuentres la solución a la ecuación x² + 1/(x²) = 7. Sin embargo, nos preguntan el valor de x⁵ + 1/(x⁵). Si intentamos resolver la ecuación que hemos dicho, la expresión será un radical (fracción de sumas de raíces), y elevarla a 5 y operar con ese número no promete ser sencillo.

Vamos a probar otro enfoque, consistente en buscar propiedades de la expresión x² + 1/(x²) que nos lleven a algo parecido a x⁵ + 1/(x⁵).

¿Que pasa con esa expresión si la elevamos al cuadrado? (x² + 1/(x²))² = x⁴ + 1/(x⁴) + 2 (recuerda la expresión del cuadrado de la suma). Como esa igualdad debe ser igual a 7² = 49, tenemos que x⁴ + 1/(x⁴) + 2 = 49, por lo que x⁴ + 1/(x⁴) = 47.

Si buscásemos x⁴ + 1/(x⁴) en lugar de x⁵ + 1/(x⁵), ya lo tendríamos. Lamentablemente, no es así. Pero ese razonamiento me da una idea. ¿Se podrá hacer algo parecido con x + 1/x y x² + 1/(x²)? Resulta que (x + 1/x)² = x² + 1/(x²) + 2. Eso quiere decir que, como x² + 1/(x²) = 7, x² + 1/(x²) + 2 = (x + 1/x)² = 9, es decir, que x + 1/x = 3 (o a -3, sólo que como el enunciado dice que x es positivo, debe ser 3).

Parece que nos vamos acercando, tenemos x⁴ + 1/(x⁴) = 47 y x + 1/x = 3. ¿Qué pasará si los multiplicamos? (x⁴ + 1/(x⁴))(x + 1/x) = x⁵ + 1/(x⁵) + x³ + 1/(x³) = 47*3 = 141.

Casi lo conseguimos, solo que nos "sobra" x³ + 1/(x³). ¿Podemos averiguar su valor? Tal vez si multiplicamos x² + 1/(x²) = 7 por x + 1/x = 3, se aclare. (x² + 1/(x²))(x + 1/x) = x³ + 1/(x³) + x + 1/x = 7*3 = 21. Por lo tanto, x³ + 1/(x³) + 3 = 21, es decir, que x³ + 1/(x³) = 18.

Sólo nos queda dar el paso final, x⁵ + 1/(x⁵) + x³ + 1/(x³) = x⁵ + 1/(x⁵) + 18 = 141, de donde x⁵ + 1/(x⁵) = 123, que evidentemente es un número entero.

Por cierto, que hay dos posibles valores para x, y ninguno de los dos tiene una expresión sencilla (3 + raíz(5))/2 y (3 - raíz(5))/2. Como verás, ninguno de ellos es cómodo para elevarlo a 5, o para dividir por él (uno es inverso del otro, de todas formas). Tal vez al ser inverso uno del otro no fuese tan difícil. Ver que esas son las dos únicas soluciones positivas de la ecuación inicial, y calcular su potencia 5 sería otra manera de abordarlo.