jueves, 27 de septiembre de 2007

La diana (nivel 2)

Enunciado

Respondamos primero a la pregunta a), de la misma forma que se hizo con el problema de primer ciclo La diana.

Está claro que se pueden obtener los primeros 12 valores, del 1 al 12, puesto que hay casillas que los representan individualmente.

Los valores entre el 12 y el 24 se pueden obtener sólo a partir de anillos de puntuación especial, por lo que sólo se alcanzarán aquellos que sean dobles (múltiplos de 2 o pares) o triples (múltiplos de 3) de algo. Podemos hacer una criba marcando los que podemos conseguir o enumerarlos aplicándoles un criterio de divisibilidad. Nos quedan como imposibles el 13, el 17, el 19 y el 23.

A partir del 24 no se pueden alcanzar con dobles, de forma que sólo hay que eliminar de la lista aquellos que sean múltiplos de 3 (triples). Serán imposibles el 25, 26, 28, 29, 31, 32, 34 y 35.

La lista completa es, por tanto, 13, 17, 19, 23, 25, 26, 28, 29, 31, 32, 34 y 35.

La pregunta b) También se puede responder analizando el problema en tres zonas distintas.

Los puntos por encima de 24 sólo se pueden conseguir de una única manera (como triples), por lo que ninguno de ellos será de este tipo.

Entre 13 y 24, los puntos se pueden conseguir como dobles o como triples, por lo que los que se pueden obtener de dos formas distintas son a la vez dobles (múltiplos de 2) y triples (múltiplos de 3). Es decir, son múltiplos de 6. Sólo hay dos de estos valores, el 18 y el 24.

Por debajo de 13, los puntos se pueden conseguir simples, dobles o triples. Anotaremos entonces como puntos que se pueden obtener de dos formas los dobles (que no sean múltiplos de 3) y los triples (que no sean dobles). Tenemos, por tanto, 2, 3, 4, 8, 9 y 10.

La lista completa es, por tanto, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 18 y 24.

Para responder a la pregunta c) nos debemos concentrar en la zona entre 1 y 12 puntos, ya que por encima de 13 sólo se pueden conseguir de dos formas distintas.

Evidentemente, de tres formas sólo se puede conseguir el 6 y el 12, pues son los únicos múltiplos de 6 (dobles y triples a la vez) menores que 13.