jueves, 17 de enero de 2008

Otro de edades

Enunciado

Como la mayoría de los problemas de edades, debemos plantearlos de forma algebraica, es decir, con ecuaciones, aunque en este caso también se pueda trabajar con tanteo entre enteros.

Para empezar, como no se plantea ninguna relación, ni se pregunta ningún resultado acerca de la edad actual de esta pareja, podemos situar el valor inicial en el momento que queramos. Intervienen tres años distintos: cuando se casan, cuando tienen el hijo, y cuando el hijo acaba la secundaria. Supongamos que establecemos las variables principales, x e y, como las edades que tienen ambos cuando se casan. Cuando nace el hijo a los dos años de casarse, cuando tenían x + 2 e y + 2 años, y la pregunta que se nos formula es la edad que tendrán cuando el hijo tenga 15 años, que será x + 17 e y + 17.

Las igualdades que se plantean es que las edades de Rita y Carles cuando se casaron estaban en proporción 13 a 11, y cuándo nace su hijo, en proporción 7 a 6. Esto se puede indicar de varias formas, por ejemplo, como que x/y = 13/11 y (x + 2)/(y + 2) = 7/6. Eliminando denominadores, 11x - 13y = 0 y 6x - 7y = 2.

Para poder eliminar una variable de forma cómoda, multiplicamos por 6 y por 11 ambas igualdades, obteniendo 66x - 78y = 0 y 66x - 77y = 22. Despejando y substituyendo, o eliminando, llegamos a que y = 22. Con este valor y la igualdad más sencilla del párrafo anterior, tenemos que 6x = 2 + 7*22 = 156. De esta forma, x = 26.

Podemos apreciar que 26/22 es igual a 13/11, y que 28/24 equivale a 7/6.

Cuando su hijo acabe la enseñanza secundaria, tendrán 17 años más, es decir, 43 y 39 años.