Sumas de primos y cuadrados

Enunciado

Cuando leí el enunciado, me puse a buscar, entre los números más bajos, ejemplos que no fuesen sumas de un primo más un cuadrado. Como los cuadrados son fáciles de obtener, me limité a tomar un número y restarle cuadrados para ver si el resultado era o no primo.

De esta forma, obtuve que los números 10, 25, 34, 58 y 64 tienen esta propiedad, aunque en algún caso, como 55 = 19 + 36, cuesta encontrar los sumandos más de la cuenta. No parecía haber ninguna forma sencilla de encontrar más de estos números, pero, claro, no tienes que descubrirlos todos. En realidad basta encontrar una regla segura que nos permita generar una cantidad infinita mediante un método.

Pensando en cómo había sometido a prueba a mis números, pensé en la expresión x - n² = p. Si podía factorizar esa expresión, podría aplicar la propiedad fundamental de los números primos, ser divisibles sólo por ellos mismos y la unidad.

Siempre que hay un cuadrado restando, podemos recordar la expresión "diferencia de cuadrados". Claro, que para eso, x debe ser un cuadrado. Eso no importa, porque hay infinitos cuadrados. Así, m² - n² = (m + n)(m - n) = p. Ahora bien, si un producto es igual a un primo, uno de los dos factores ha de ser uno, de forma que m - n = 1 (m + n seguro que es mayor). De esta forma, m + n = m + m - 1 = 2m - 1 = p. Luego el doble de m menos 1 debe ser primo.

Está claro que eso no sucede siempre, por eso 25 y 64 salen en la lista (10 - 1 = 9, 16 - 1 = 15), pero 9 y 36 no (6 - 1 = 5, 12 - 1 = 11). ¿Podremos encontrar una cadena de valores infinita a la que le suceda ésto?

La verdad es que no es difícil. Basta buscar series impares que no sean primos (por ejemplo, de la forma 6k + 3, que siempre son divisibles por 3 e impares), encontrar el m correspondiente (en nuestro ejemplo, 3k + 2). Con esto, nos aseguramos que su cuadrado (9k² + 12k + 4) es del tipo pedido. Para cualquier valor natural de k (mayor que 1). Y son infinitos, claro.

Veamos los pasos de la demostración. Si 9k² + 12k + 4 = n² + p, con p primo, tenemos que 9k² + 12k + 4 - n² = p. Como sabemos, eso sería equivalente a (3k + 2 - n)(3k + 2 + n) = p. Como uno de los dos factores ha de ser igual a 1, y el segundo es claramente mayor, tenemos que 3k + 2 - n = 1, por lo que n = 3k + 1. Pero entonces 3k + 2 + n = p, y 3k + 2 + 3k + 1 = 6k + 3 = 3(2k + 1), por lo que 3 = p y 2k + 1 = 1, es decir k = 0. Lo cual es claramente absurdo.