Muchos seises

Enunciado

Como se ha comentado en el enunciado, hay que empezar por proponerse cuadrados de números formados con menos cantidad de seises, como 6, 66, 666, hasta encontrar una pauta clara.

Estos cuadrados son 36, 4356 y 443556, de forma que se puede empezar a ver una cierta regularidad. Si lo hacemos con calculadora, será más rápido, pero, sin embargo, es haciendo las operaciones a mano con lápiz y papel donde apreciamos el origen de la regularidad.

Multipliquemos 6666 por 6666 simulando el uso del algoritmo conocido. Si usamos la cifra de las unidades, hay que multiplicar 6 por 6666. Evidentemente, la última cifra es 6, pero hay un arrastre de 3 decenas, que se suman a la siguiente cifra, dando un total de 9. De esta cifra volvemos a llevarnos o arrastrar 3, repitiendo la operación hasta que se acaben los 6. Esta primera fila, origen de multiplicar las unidades por todo el número, proporciona 39996. De la misma forma, la cifra de las decenas proporciona 399960, la de las centenas 3999600 y la de las unidades de millar, 39996000.

Evidentemente, la última cifra del resultado total del producto es un 6, pero la de las decenas será un 5, y arrastraré una unidad. Esta unidad me transformará un 9 en un 10, por lo que en la siguiente posición volveré a obtener un 5, arrastrando dos en esta ocasión, que a su vez anulará dos cifras 9 de la siguiente columna.

En definitivas cuentas, tropezaremos con cifras 5 mientras haya nuevas cifras 6 que encontremos y añadamos por tanto nuevas filas con valor. Para 6666 habrá un total de 3 cincos. En ese punto, no aparecen nuevos sumandos 6 y sí aparece un 3 en la parte superior. Además, nos llevamos una unidad por cada nueve que aparece, por lo que 3 es la cifra final, y nos volvemos a llevar o arrastrar la misma cantidad. Sin embargo, en la siguiente posición hay una fila menos, con lo que una unidad de las que llevamos se combina con el 3 para proporcionar un 4, y los nueves restantes proporcionan dieces, que de nuevo se llevan a la siguiente columna. Por eso aparecen los cuatros, uno por cada fila que va desapareciendo después de la primera. Por eso habrá tres cuatros para el 6666. El número será 44435556.

Evidentemente, hay una pauta. Puede que sea más difícil de explicar que de ver. Para el número que se pide en el problema, formado por 2006 seises, su cuadrado estará formado por 2005 cuatros, un tres, 2005 cincos y un 6. Y la suma de estas cifras ascendería a 2005*4 + 3 + 2005*5 + 6, o lo que es lo mismo, sumar 2005 veces nueve y sumar 9, o, lo que es lo mismo, 2006*9, que hace un total de 18054.