Tablero de ajedrez

Enunciado

Cuadrados de 2x2

Nos dice el enunciado que hay 16 cuadrados pequeños iguales. Pensemos ahora cuál sería el siguiente tipo de cuadrado dibujado por las líneas del tablero. Creo que es sencillo entender que sería el cuadrado formado por cuatro de los cuadraditos pequeños. ¿Cuántos de estos cuadraditos podemos contar en el tablero? Si ves la animación junto a estas líneas, te darás cuenta de que en una línea hay tres cuadrados de este tamaño. Una idea que podemos usar para entenderlo, es que necesitamos apoyar su esquina superior izquierda en un cuadrado de los pequeños, pero no puede ser el último de la derecha, porque se nos saldría del tablero. De forma similar, habrá sólo tres filas (y no cuatro) de este tipo de cuadrados 2x2. En total, tres filas de tres cuadrados forman 9 cuadrados 2x2.

Cuadrados de 3x3

El siguiente tipo de cuadrados que podemos formar es del tipo 3x3, y de nuevo hay que eliminar una posición de cada fila (sólo hay dos, como ves en la animación). Y tampoco hay más de dos filas. Por tanto son 4 los cuadrados 3x3 distintos.

Y, claro, hay un cuadrado 4x4. En total, 16 + 9 + 4 + 1 = 30 cuadrados diferentes de cualquier tamaño.

Pasemos al tablero 5x5. Contando los más pequeños, tendremos 25. De tamaño 2x2, siguiendo un sistema similar al del caso anterior, habrá 4x4 = 16. Y, de tamaño 3x3, habrá 9 = 3x3. También habrá 2x2 = 4 de tamaño 4x4, y uno sólo de tamaño 5x5. Tendremos que sumar ahora 25 + 16 + 9 + 4 + 1, pero ¡espera! La mayor parte de esta suma ya la tenemos calculada arriba. Entonces lo único que hay que hacer es sumar a 30, nuestro resultado anterior, el cuadrado de 5, 25. Nos sale 55. Si trabajásemos con el cuadrado 6x6, bastaría añadirle 36 para contar el número de cuadrados, y 49 para el tablero 7x7.

Por eso, para el tablero de ajedrez completo, el de 8x8 cuadraditos, bastará tomar 55 y sumarle 36, 49 y 64, que son los cuadrados que nos faltan hasta 8. El resultado es que en un tablero 8x8 hay exactamente 204 cuadrados de diverso tamaño.