Ortoedros divididos en cubos

Enunciado

Lo primero que se me ocurre cuando leo este problema es tratar de calcular las dimensiones de un ortoedro de los propuestos. Si llamamos a, b y c a sus dimensiones, pensemos, para fijar ideas, que a ≤ b ≤ c.

Supongamos que cortamos el ortoedro en c rodajas a lo largo de esa longitud. Estas rodajas estarán formadas en su borde exterior por cubos pintados, mientras que el interior no, excepto la primera y la última. Para que haya la misma cantidad de los dos tipos, en cada rodaja interior debe haber más cubos sin pintar que pintados, para compensar esas rodajas finales, que estarán totalmente pintadas. Está claro que a debe valer al menos 5, ya que en caso contrario en una rodaja habría necesariamente menos cubos sin pintar que pintados.

Para hacer una prueba, supongamos que a vale 5. Entonces, para que haya en una rodaja más cubos sin pintar que pintados, 3*(b-2) - 2b - 6 > 0. Esto lleva a que b - 12 > 0, es decir, b debe ser al menos 13. En ese caso, habría 3*11 = 33 cubos sin pintar y 26 + 6 = 32 cubos pintados (uno menos). Las tapas, formadas por cubos pintados, tendrían un tamaño de 5*13 = 65, es decir, que habría 130 cubos pintados para compensar, luego la dimensión c sería de 132 (las dos tapas, más las rodajas necesarias para equilibrar el número de cubos). En este caso, el número total de cubos sería 5*13*132 = 8580, mientras que el total de cubos sin pintar (no están en ninguna de las caras) sería de 3*11*130 = 4290, exactamente la mitad.

¿Hay un límite superior para b, en este caso? Es decir, hemos probado con 13, que es el mínimo, pero ¿hay un valor máximo? Como resulta que b - 12 es el exceso de cubos sin pintar, la cantidad de cubos de las tapas, formadas cada una por 5*b cubos, debe coincidir con el número de rodajas multiplicadas por ese exceso, es decir, (c - 2)*(b - 12) = 2*b*5, de donde c = 2 + 10b/(b - 12) y hemos empezado suponiendo que b ≤ c, luego se tiene que b ≤ 2 + 10b/(b - 12). Quitando denominadores, b*(b - 12) ≤ 2*(b - 12) + 10b, de donde b² - 24b + 24 ≤ 0. Por esto, b está acotado (sólo hay un intervalo en el que una parábola esté por debajo de cero, si el coeficiente de b² es positivo).

Ya hemos visto que si a vale 5, la cantidad de posibilidades para b es finito (y c, si existe, se obtiene a partir de b, mediante una fórmula). Si conseguimos probar que también sucede para otros valores de a, y acotar a, el problema estará resuelto.

Supongamos, entonces, a genérico. El número de cubos de una rodaja sin pintar es (a - 2)*(b - 2), y el de cubos pintados es 2b + 2a - 4. Su diferencia será ab - 4a - 4b + 8, que debe ser positivo para que compense la cantidad de cubos de la tapa, y en ese caso, c = 2 + 2ab/(ab - 4a - 4b + 8), donde el denominador es siempre positivo. de ahí obtenemos la desigualdad b ≤ 2 + 2ab/(ab - 4a - 4b + 8). Quitando denominadores, obtenemos la inecuación de segundo grado (a - 4)b² + (16 - 8a)b + 8a - 16 ≤ 0. Como el coeficiente de b² es de nuevo positivo (ya vimos que a debe ser mayor que 4), b está acotado y por tanto puede tener una cantidad finita de valores.

Por último, deberíamos ver que a también está acotado. Ya vimos que debe ser mayor que 4. Si probamos a calcular los valores máximos de b para ciertos a encontraremos una relación entre ambos decreciente (cuanto mayor es a, son menores b y c), con lo que parece intuitivamente claro que hay un número finito. De hecho, para a = 9, el único valor aceptable de b sería 9 (aunque c no sería un entero válido en ese caso). Debemos tratar de comprobar que, en el caso que a valga más de 10, no es posible que esas dos cifras coincidan. Como hemos hecho el supuesto inicial de que a ≤ b ≤ c, veamos si se puede demostrar directamente.

Si a fuese superior a 10, el número de cuadrados no pintados de cada rodaja sería (a - 2)*(b - 2) y el de pintados, 2b + 2(a - 2). La diferencia entre ambos sería de (a - 2)*(b - 2) - 2b - 2(a - 2), que sería mayor que 8*b - 2b - 2b = 4b. Por tanto, c - 2, que es el cociente entre los cubos de las dos tapas y el excedente de cubos de una de las rodajas, sería menor que 2ab/4b = a/2, aunque c debería ser mayor que a, lo que es claramente contradictorio.

Hay otra manera de razonar este resultado a partir de la igualdad a*b*c = 2(a - 2)(b - 2)(c - 2), que es la solución oficial.