Polinomio sin raíces enteras

Enunciado

Éste problema parece más difícil de lo que en realidad es. Para empezar, pongamos números concretos al enunciado. Supongamos que para un valor, como por ejemplo k = 5, y para P(x) un polinomio de coeficientes enteros, se tenga que P(1), P(2), P(3), P(4) y P(5) no son divisibles por 5. ¿Qué sucedería en el caso de que P(x) tuviese una raíz entera?

Como hablamos de divisibilidad, conviene factorizar el polinomio, para poder expresar mejor el concepto de ser divisible por algún número. Supongamos que el polinomio tiene a 7 por raíz. Eso quiere decir que el polinomio se puede expresar de la forma P(x) = Q(x)(x - 7), con Q(x) también de coeficientes enteros. Analicemos este último factor (x - 7). En los valores de los que sabemos algo, P(1), P(2), P(3), P(4) y P(5), este factor vale, respectivamente, -6, -5, -4, -3 y -2. Está claro que cuando coincida con -5, el producto sí será divisible por 5.

Probemos otro entero. ¿Y si fuese -101 una raíz del polinomio?, el factor que tendríamos sería x + 101, y sus valores en los casos tratados, serían 102, 103, 104, 105 y 106. Está claro que el caso en que diese 105, tendría que ser P(4) divisible por 5.

¿Podemos generalizarlo? Supongamos que tenemos t una raíz entera del polinomio. Supongamos que tenemos un resto de dividir t entre 5 que es r (t = n*5 + r), de forma que r es un valor entre 0 y 4. El polinomio es divisible entre x - t, es decir, x - t es un factor entero de P(x), y x - t = x - n*5 - r. Pero r es uno de los números entre 1 y 5, o bien es 0( pero en ese caso, podemos dar el valor 5 a x), y el factor x - t aplicado en r es -n*5, es decir, múltiplo de 5.

Demos un paso más en la generalización, para cualquier valor k entero. Si el polinomio P(x) cumple las condiciones del enunciado, supongamos que tenemos una raíz entera t del polinomio. Por el teorema del resto entero (fundamental par la división), existe un valor r entre 0 y k - 1 (para el ejercicio, podemos suponerlo entre 1 y k, ya que si es 0 podemos convertirlo fácilmente en k), de forma que n*k + r = t. Pero el polinomio P(x) tiene un factor (entero, pues su factor correspondiente es un polinomio de coeficientes enteros) (x - t) = (x - n*k - r), que en el caso de que x = r valdrá exactamente n*k, es decir, que P(r) será divisible por k, en contra de la hipótesis.

Por reducción al absurdo, es imposible que en las condiciones del enunciado tengamos una raíz entera t del polinomio.