Cuerdas paralelas

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Cuerdas paralelas

En los problemas de geometría es fundamental trazar bien el dibujo. Recuerda que las cuerdas están opuestas por el centro, es decir, dejan al centro de la circunferencia entre las dos, son paralelas, y por tanto su distancia (que es perpendicular), puede pasar por el centro, como he hecho en el dibujo. Además, en ese caso, por simetría, la distancia parte a ambas cuerdas en dos segmentos iguales, cuyas medidas son 6 y 8. Para terminar, he trazado los radios de la circunferencia, que parten de algún punto situado en el segmento distancia entre las dos cuerdas, y llegan a los extremos de las cuerdas, y todos los radios, como siempre, miden lo mismo.

Ahora, podemos encontrar dos tipos de triángulos rectángulos, y tres incógnitas, que son el radio, r, la distancia del centro a la cuerda corta x, y la distancia al centro de la cuerda larga, y. Evidentemente, x + y = 14, que es la distancia entre las dos cuerdas (por ser opuestas por el centro). Además, r² = x² + 36, y también r² = y² + 64, aplicando el conocido Teorema de Pitágoras. Tenemos ahora un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Para resolverlo, por ejemplo, podemos igualar ambas ecuaciones cuadráticas, de forma que x² + 36 = y² + 64, y despejando en la primera igualdad, y = 14 - x, de forma que x² + 36 = (14 - x)² + 64. Aplicando ahora el cuadrado de la resta, tenemos que x² + 36 = 196 - 28 x + x² + 64. Si nos damos cuenta que en ambos lados de la igualdad está repetido el término x², podemos restarlo, quedando la ecuación como 36 = 196 - 28x + 64. Despejando la x, tenemos que 28x = 196 + 64 - 36 = 224, de donde x = 224/28 = 8. Así, y = 6, y por tanto r² = 64 + 36 = 100, por lo que r = 10. Por tanto, el diámetro es 20.