Dos expresiones enteras
Con este enunciado, no sabemos lo que buscamos, pero sí que tratamos de modificar las expresiones que tenemos buscando alguna propiedad.
Así, ab + a + b = a(b + 1) + b = a(b + 1) + b + 1 - 1 = (b + 1)(a + 1) - 1. Esto quiere decir que si un número es de esta forma, al sumarle 1 obtendremos el producto de dos números enteros mayores que 2. Es decir, que si un número no se puede expresar de esta forma, su número posterior es primo.
Como vemos, es una buena caracterización, ya que si un número no es primo, se puede factorizar como producto de dos números enteros mayores que 1, que serían a + 1 y b + 1, obteniendo así a y b mayores que 0.
Por otra parte, cd + c - d = c(d + 1) - d - 1 + 1 = c(d + 1) - (d + 1) + 1 = (c - 1)(d + 1) + 1. Esto significa que, si un número es de esta forma, se puede factorizar como producto de dos factores, con algunas condiciones. Como c ≥ d ≥ 0, el primer factor puede ser -1 (c = 0), y entonces d = 0, pero en ese caso el número sería 0, que no es un entero positivo. Si c = 1, entonces d puede valer 0 o 1, obteniendo en la expresión el 1. Si c vale 2, d puede valer 0, 1 o 2, proporcionando la expresión los números 1, 2 y 3. Si c es mayor que 2, la expresión nos proporciona el número siguiente a uno que se puede factorizar como producto de dos enteros mayores que 1. Si un número genérico se puede factorizar en números enteros mayores que 1, ordenamos de mayor a menor los dos factores, y tendremos que c es el siguiente del primer factor, y d el anterior del segundo factor, que necesariamente es menor o igual, con lo que el número posterior a este número genérico se puede expresar de esta forma.
Supongamos que tenemos, entonces, un número que no se puede expresar de ninguna de estas dos formas. Entonces deberá se mayor que 3 (o sería expresable de la forma que indica la segunda expresión), y tanto su número posterior como su número anterior deberán ser primos.
De forma análoga, si un número es mayor que 3, y tanto el anterior como el posterior son primos, entonces no se puede expresar usando ninguna de estas expresiones.
Por lo tanto, es una caracterización.
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