El estampado del mantel

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Módulo del estampado

Si entendemos bien el problema, nos faltan muchos datos, como el tamaño del mantel, la cantidad de cuadrados que tiene y cosas así. Como el estampado se repite un número grande de veces, podemos suponer que cae en uno de los módulos que se repiten, y calcular el área que corresponde al cuadrado azul dentro del módulo. La proporción del total del módulo que forma el cuadrado azul nos dará la probabilidad que buscamos.

En el dibujo he remarcado un ejemplo de uno de los módulos con los que podemos construir todo el mantel. No es la única forma de cubrir el estampado, pero todos los módulos que podamos construir tienen los mismos elementos: dos cuadrados y cuatro triángulos, todos del mismo lado. Sólo uno de los cuadrados es horizontal, es decir, que podemos calcular la proporción de áreas.

Supongamos que miden una unidad de lado, por simplificar. El cuadrado medirá de área una unidad cuadrada, por supuesto. Para calcular el área del triángulo, necesitamos la altura, que por simetría, formará junto con media base y uno de los otros lados un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa medirá 1 unidad, y uno de los catetos medirá 0,5 unidades. Aproximadamente, la altura mide, aplicando el Teorema de Pitágoras, 0,87 unidades (ya que 0,87² + 0,5² = 1²). Por tanto, el área de cada triángulo será 0,43 unidades cuadradas.

Como el módulo tiene dos cuadrados y cuatro triángulos, su área completa será, aproximadamente, de 2 + 0,43*4 = 3,73 unidades cuadradas. La proporción de uno de los cuadrados en ese área es de 1/3,73, aproximadamente 26,8%. Ésta es la probabilidad buscada.

Si queremos precisión, el área de uno de los triángulos es √3/4, por lo que el área total es 2 + √3. El cociente que buscamos es 1/(2 + √3), que corresponde, si sabes ya racionalizar, a 2 - √3.