domingo, 1 de febrero de 2009

Pasando por el centro

Enunciado

Triángulos rectángulos

Triángulos rectángulos

Lo primero es dibujar el rectángulo correctamente. No en todos los rectángulos existe ese punto P que buscamos, de forma que podemos tardar un poco en dar con uno que nos sirva. Fíjate que el lado AD debe ser más largo, si queremos que el ángulo BPC sea recto. Puede que sea conveniente dibujar un triángulo rectángulo BPC primero y después, alrededor de él, un rectángulo ABCD, de forma que P esté en AD. Otra cosa que tenemos que saber es que siempre las letras de un polígono se dan en sentido de las agujas del reloj, o en el sentido inverso.

Después hay que dibujar las perpendiculares desde A y desde D. Si nos fijamos en el dibujo, aparecen varios triángulos rectángulos, que he pintado de colores para que los reconozcáis. Si te fijas bien en los ángulos no rectos, verás que suman 90 unos con otros, es decir, que todos los más agudos son iguales, y los más amplios también entre ellos. Eso quiere decir que todos los triángulos rectángulos que aparecen son semejantes, y esto es muy importante en este problema.

Ahora unimos los puntos M y N, como está indicado en la figura. Nuestro objetivo es comprobar que esta línea pasa por el centro del rectángulo, que es donde se cortan las diagonales, en el centro de las dos. En realidad corta a cualquiera de ellas, pero hace falta dibujar una para ver si la corta exactamente por el centro. Nos interesa dibujar claramente una de ellas, la que va de el extremo de AD más próximo a P hasta el extremo opuesto de BC. En nuestro dibujo, es AC.

La diagonal y los triángulos

La diagonal y los triángulos

Claramente, la diagonal corta al segmento MN, ya que M está "por arriba" de AC, y N "por debajo" (podemos razonar con los ángulos MAP, claramente más grande que CAD, y PCB, exactamente igual).

Ahora, vamos a ver que los triángulos AMO y CNO son semejantes. Restando PCB menos ACB, nos sale el mismo ángulo que MAP menos CAD, y los segmentos AC y MN se cortan en O, así que el ángulo NOC es igual que MOA. Como tienen dos ángulos iguales, está claro que son semejantes.

Además, AMO y CNO son iguales. En efecto, AMB es un triángulo semejante a CND, según hemos visto, y ambos tienen el lado mayor (hipotenusa) igual, pues son lados del rectángulo. Esto hace que sean iguales, por lo que AM y CN son iguales, luego AMO y CNO son exactamente iguales. Por esto, O es el punto medio de AC, y MN pasa por el centro del rectángulo.