La diana triangular

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Lo primero que hay que aclarar es que, si el punto donde se clava la flecha se elige realmente al azar dentro del triángulo que delimita la diana, entonces se puede calcular la probabilidad de que entre en una zona determinada según el cociente de su área respecto del total. Observa que, en condiciones reales, las flechas disparadas tenderían a acumularse algo más en el centro, y tener esto en cuenta sería muy difícil en nuestro problema.

Círculos con radios

Así que este problema es, en realidad, un típico problema de los de calcular el área sombreada. Puesto que necesitamos el radio de las circunferencias implicadas, no hay mejor sistema para calcularlo que trazar los radios de las circunferencias. ¿Cualquier radio? No. Aquellos que toquen algún elemento importante del dibujo. Por ejemplo, un punto de tangencia. También vamos a dibujar una de las alturas (o medianas, o bisectrices: en un triángulo equilátero, todo es lo mismo).

Si tenemos en cuenta que esa altura forma, junto con media base y un lado, un triángulo rectángulo, es fácil calcular, usando Pitágoras, que mide √3/2. Ahora bien, esa altura puede dividirse en dos partes, el radio (r) y lo que falta del radio hasta el vértice, de forma que se vuelve a construir un triángulo rectángulo (pintado en verde). De nuevo podemos usar Pitágoras, ya que (1/2)² + r² = (√3/2 - r)². De aquí obtenemos que r vale √3/6. Así, el área de la circunferencia es π/12, mientras que la del triángulo es √3/4. La probabilidad, por tanto, de la primera pregunta sería π√3/9 ≅ 0,604599788. Así, la probabilidad sería del orden del 60%, como afirmaba Lluís Usó en los comentarios.

Por otra parte, para calcular el área de los otros tres círculos y contestar a la segunda pregunta, basta observar que si trazamos la recta tangente al círculo grande y uno de los pequeños, como en el dibujo, se forma una figura semejante a la que ya hemos estudiado, sólo que ahora la altura mide √3/2 - 2r = √3/2 - √3/3 = √3/6, es decir, la tercera parte. Eso significa que cada uno de los círculos pequeños tendrá la tercera parte del radio, o la novena del área, es decir, que la probabilidad de acertar en cualquiera de los cuatro círculos se calcularía ahora como π√3/27 ≅ 0,201533263, del orden del 20%, como también afirmaba Lluís.