Un ángulo bisecado

Enunciado

En este tipo de problemas es fundamental hacer varios dibujos del problema, variando todo lo posible las restricciones. Así, al añadir una línea en varios dibujos, se apreciarán mejor las condiciones que tienen que cumplir.

Conviene borrar todo tipo de líneas auxiliares, y probar a añadir líneas sueltas en varios dibujos (radios, diagonales, etc.) para estudiar sus relaciones.

Ángulo bisecado

En el caso que nos ocupa, rápidamente podemos encontrar una línea muy interesante, que nos facilita mucho su solución. Observa que los segmentos TA y TB cortan a la circunferencia interior en dos puntos, que podemos llamar A' y B'. La línea que los une parece paralela a AB, y notar eso es un paso de gigante hacia una solución.

Observa que A'TB' y ATB son el mismo ángulo, y está inscrito en dos circunferencias. Eso significa que el arco AB y el A'B' ocupan la misma fracción de la circunferencia, y por tanto que ambos dibujos están hechos a escala, es decir, son semejantes. Podríamos buscar los centros de las circunferencias, y trazar triángulos isósceles con los radios para buscar relaciones entre los ángulos, pero creo que es suficiente esta observación para decir que son, efectivamente, segmentos paralelos.

El resto es muy sencillo, ya que si dibujamos (en el dibujo se ha omitido, para enfatizar el paralelismo) el radio de la circunferencia interior, es perpendicular a AB y por eso también a A'B'. Por la simetría de la situación, se comprueba que los arcos en que divide al arco A'B', A'P y PB', son iguales. Debido a esto, los ángulos inscritos (ATP y PTB) son iguales, como se pretendía demostrar.

No es la única forma de demostrarlo, pero me ha parecido bastante elegante, pues apenas requiere conocimientos básicos.