Las tres hermanas
La solución más sencilla que se me ocurre es directa: emplear lo que se supone que sabéis sobre sistemas de ecuaciones.
Llamando a a la edad de Ana, b a la de Blanca y c a la de Consuelo, la primera información que nos ofrecen nos proporciona directamente la ecuación a2 + b2 + c = c2.
Para la segunda información hay que pensar que para que Ana tenga la edad que tiene Consuelo ahora, tendrán que pasar c - a años, porque es la manera en que a + (c - a) = c. Que Consuelo entonces tenga cuatro veces la edad que tiene Ana ahora, quiere decir que c + c - a = 4a, o lo que es lo mismo, 2c = 5a.
Evidentemente, la última relación se puede expresar como 4a = 2b, o, lo que es lo mismo, b = 2a.
Para resolver el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, tenemos que substituir en la primera, que es de segundo grado. Para ello es conveniente despejar las incógnitas en las otras que menos aparecen, así que tenemos que b = 2a por la última ecuación, es decir que b2 = 4a2 de forma que la primera queda a2 + 4a2 + c = c2, o, lo que es lo mismo, 5a2 + c = c2.
De la otra ecuación obtenemos a = 2c/5, por lo que a2 = 4c2/25. Substituyendo en la primera ecuación, tenemos que 5*4c2/25 + c = c2, de donde 4c2/5 + c = c2. Quitando denominadores, tenemos que 4c2 + 5c = 5c2. Esta ecuación es equivalente a 0 = c2 - 5c, que es una ecuación de segundo grado con dos soluciones.
La solución c = 0 no tiene sentido en este problema (si Consuelo tiene 0 años, y también todas sus hermanas, Ana ya tiene la misma edad que Consuelo y el enunciado mismo no tendría sentido).
La otra solución es c = 5, y en ese caso a = 2 y b = 4. Podemos comprobar que esta solución encaja con el enunciado.
2 comentarios:
He tenido un incidente con los alumnos al plantear el problema porque les faltan datos.Algo le pasa al enunciado de la segunda parte que les lleva a meter en una ecuación las dos informaciones.Es una lástima porque el problema es bonito, pero se han enfadado mucho.¿se podría mejorar el enunciado?
Gracias por todo, tu página me resulta de gran utilidad.Una profe.
Tienes razón en que mezclar las dos informaciones en una única frase resulta confuso para el alumnado a esta edad.
Fíjate que el enunciado pretende ser fiel a lo que se preguntó en la competición (la Olimpiada de la Comunidad Valenciana, en este caso).
Tal vez quedaría más claro, en efecto, si la frase donde se dice que Consuelo tendrá el doble de la edad que tiene Blanca ahora debería estar claramente diferenciada de la otra.
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