Una diferencia muy divisible
Hay varios sistemas para tratar este tipo de problemas. Tal vez el más directo requiere comprobar que este polinomio que aparece en el enunciado, n19 - n7, es divisible entre 30, es decir, que la diferencia entre las dos potencias es un número al que le podemos aplicar los criterios habituales de divisibilidad de los factores de 30. Como 30 = 2*3*5, se tratará de los criterios de divisibilidad de 2, de 3 y de 5. Tal vez sea un poco pesado, pero se puede lograr con un poco de paciencia. Basta ver, por ejemplo, que para ser divisible entre 2, todas las potencias de un par son pares, y las de un impar son impares, con lo que la diferencia entre dos siempre es un número par. De maneras similares podríamos razonar para los otros números, aumentando la complejidad. Para el factor 5 habría que probar, por este método, las potencias de todos los números de la forma 5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3 y 5k + 4, concretamente con el exponente 7 y 19, y estudiar sus diferencias. Observaríamos que, sorprendentemente, la diferencia siempre es múltiplo de 5.
Un método menos pesado consiste en factorizar el polinomio. Así, n19 - n7 = n7*(n12 - 1) = n7*(n6 - 1)*(n6 + 1) = n7*(n3 - 1)*(n3 + 1)*(n6 + 1) = n7*(n - 1)(n2 + n + 1)*(n + 1)(n2 - n + 1)*(n6 + 1). Puede que no consigamos factorizarlo tanto, pero puede simplificar mucho el proceso.
Estudiarlo ahora una vez factorizado es muy sencillo. Como aparecen los factores n y n + 1, el producto es necesariamente múltiplo de 2, pues uno de los dos es par. De la misma forma, el producto es múltiplo de 3, pues aparecen los factores n, n - 1 y n + 1, que son tres números enteros consecutivos.
Estudiar la divisibilidad por 5 es algo más complicado. Según el resto al dividirlo por 5, un número n siempre es de la forma 5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3 o 5k + 4. Es evidente que el producto que hemos expresado antes es múltiplo de 5 en los casos en que n sea 5k (pues n aparece en la factorización), 5k + 1 (por aparecer n - 1) o bien 5k + 4 (por aparecer n + 1). Nos queda por estudiar los casos más complicados, 5k + 2 y 5k + 3.
Comprobaciones directas (con 2 y con 3) nos indican que el factor que nos interesa en este caso es n6 + 1. En efecto, si multiplicamos un número de la forma 5k + 2 por sí mismo , podemos comprobar que nos proporciona un número de la forma 5k2 + 4. Este número, al volverlo a multiplicar por sí mismo, nos da un número de la forma 5k3 + 1 (esto sería el original n, a la cuarta potencia). Necesitamos volverlo a multiplicar por 5k2 + 4 de nuevo para obtener la sexta potencia, y sería de la forma 5k4 + 4 de nuevo. Los productos se pueden hacer con los métodos clásicos de productos de polinomios, pero agrupando los múltiplos de 5 en un único término. Esta claro que a tal número, potencia sexta de n, al sumarle 1, obtendríamos un número 5k5 + 5 = 5(k4 + 1), múltiplo de 5.
Con un número de la forma 5k + 3 sucede algo parecido, ya que su cuadrado es de la forma 5k2 + 4 (esto es debido a que 3*3 = 9 = 5 + 4), y se vuelve a cumplir la regla del párrafo anterior.
Luego el número indicado es siempre múltiplo de 2, 3 y 5, con lo que lo es de 30.
2 comentarios:
Una solución mas sencilla seria probar las congruencias numéricas en los módulos 2,3 y 5 usando el teorema de Euler.
Efectivamente, siempre que estes familiarizado con las congruencias, y con el teorema de Euler :-D
Quiero decir, que busco en mis soluciones dar respuestas que involucren el menor número de resultados "conocidos", para que lo pueda seguir cualquiera.
Pero sí, la solución sería correcta.
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