Cubo inscrito en esfera inscrita en cubo

Enunciado

Como dice Lluís en los comentarios, este problema tiene una solución bastante sencilla, la única dificultad es imaginar los puntos de contacto entre la esfera y los dos cubos.

Sección de esfera inscrita

Puesto que la información que nos dan es el área total del cubo externo, a partir de ese dato debemos obtener el lado, que es el dato más importante en un cubo. Puesto que el área total es de 24 metros cuadrados, y un cubo tiene 6 caras, cada cara tiene 4 metros cuadrados, es decir, el lado mide dos metros.

Ahora bien, la esfera está inscrita dentro del cubo, es decir, es tangente en el centro de las caras. Su diámetro medirá la distancia entre dos de esos puntos tangentes, es decir, un lado del cubo. Es decir, que su diámetro mide 2 metros también.

Por último, el cubo inscrito dentro de la esfera toca a la esfera en puntos opuestos con los ocho vértices. lo que podemos medir es una diagonal del cubo, que medirá en total lo que el diámetro de la esfera, es decir, dos metros.

Esta diagonal se puede introducir en un triángulo rectángulo que forma la diagonal externa de una cara del cubo y uno de los lados, y la diagonal externa se puede introducir en un triángulo rectángulo que forman dos lados del cubo.

Calculando, el cuadrado de la diagonal externa es igual a la suma de dos cuadrados de los lados, es decir, r² + r² = 2*r². Y el cuadrado de la diagonal interna, es la suma de este cuadrado y el cuadrado de otro lado, es decir, 2*r² + r² = 3*r². Es decir, que la diagonal al cuadrado, que vale 4, es igual a 3*r², por lo que r vale la raíz cuadrada de 4/3.

Ahora, como lo que buscamos es el área de todo el cubo inscrito, el área de una cara valdrá 4/3 de metro cuadrado, y multiplicando por 6, tendremos el área total, 8 metros cuadrados. Según vemos, el área se divide sólo entre tres durante este proceso.