Suma de ángulos

Enunciado

El objetivo es ver que el ángulo BAC es suma de BAP y BAQ. En principio, un alumno de bachillerato podría abordar este problema con las fórmulas de la suma de ángulos, pero no debemos intentarlo así, porque el problema está planteado para segundo ciclo de la ESO.

En realidad, de lo que se trata es de ver que el ángulo que queda cuando a BAC le quitas BAP es igual que BAQ (o al revés). Para esto, podemos tratar de encontrar el triángulo rectángulo que forma la altura sobre una de las bases, y demostrar que se trata de un triángulo equivalente al que forma BAQ.

Encontrando ángulos iguales

Observa el dibujo. Vamos a calcular la altura de P sobre el lado AC del triángulo APC. Junto con AP y el segmento de la base, forman un triángulo rectángulo. Si es semejante a ABQ, el ángulo PAC será igual a BAQ, y el enunciado estará demostrado.

La longitud AP es la hipotenusa del triángulo rectángulo ABP. Usando Pitágoras encontramos que es igual a la raíz cuadrada de (1² + (1/2)²), que equivale a la raíz cuadrada de 5, dividida entre dos.

La longitud de AC es raíz cuadrada de 2. Supongamos que x es la altura de P sobre AC. Esa altura es el cateto de dos triángulos rectángulos, cuyas hipotenusas miden AP y PC, y cuyos otros dos catetos suman AC. Trabajando con un par de sistemas de ecuaciones, podemos concluir que x vale raíz cuadrada de 2 dividida entre 4. Es decir, que en el triángulo rectángulo que forma A, P y el pie de su altura, la hipotenusa mide raíz de 5 partido 2, y el cateto corto, raíz de 2 partido por 4.

El triángulo ABQ, su cateto largo mide 1 y el corto 1/3, es decir, que su hipotenusa mide la raíz cuadrada de 10 dividida entre 3.

Ahora vamos a ver la proporción entre los catetos cortos y entre los lados y ver si da lo mismo. En efecto, el cociente entre los catetos es ((raíz de 2)/4)/(1/3)= 3*(Raíz de 2)/4. El cociente entre hipotenusas es ((raíz de 5)/2)((raíz de 10)/3) = (3*(raíz de 5))/(2*(raíz de 10)). Para ver si estas dos fracciones son equivalentes, las multiplicamos en cruz, y obtenemos que 6*(raíz de 20) = 12*(raíz de 5), cosa que es cierta. Luego los ángulos son exactamente iguales