Duplicar moviendo cifras

Enunciado

Este problema se puede plantear tanteando sobre la última cifra, o bien utilizando ecuaciones, y conociendo cómo escribimos los números en el sistema decimal y las implicaciones que tiene. Voy a optar por este último método por ser más interesante y cubrir todos los casos.

En primer lugar, un alumno escribe un número de 18 cifras, y después el profesor borra la última cifra y la sitúa en primer lugar, con lo que el número se duplica.

Si nos fijamos bien, las primeras 17 cifras permanecen juntas en ambos números, pero al quitar la última cifra, su valor queda dividido entre 10, es decir, que en el primer número su valor es 10*x, y en el segundo es x. De x conocemos que es un número de 17 cifras.

Por otra parte, la última cifra, al situarla en la posición 18, es como si multiplicáramos su valor por 10 un total de 17 veces, es decir, como si lo multiplicáramos por 10¹⁷ o 100000000000000000.

En resumidas cuentas, que el primer número puede expresarse como 10*x + y, y el segundo número se puede expresar como x + 10¹⁷*y.

El enunciado del problema nos dice que el segundo es doble que el primero, es decir, que 2*(10*x + y) = x + 10¹⁷*y.

Quitando paréntesis y agrupando términos que tienen la misma incógnita, queda 19*x = 99999999999999998*y (hay 16 "nueves" en este coeficiente).

Esta ecuación tendría infinidad de soluciones fraccionarias, ya que sobra una incógnita, pero x e y deben cumplir otras restricciones, sabemos que y es un número natural de una única cifra, y que x es un número natural de exactamente 17 cifras.

Como 19 es un número primo, o bien divide a y (cosa que obligaría a que y valiese cero, y x también, pero no parece lógico que el alumno haya escrito 18 ceros), o bien 19 divide a 99999999999999998. Probando esta última posibilidad, tenemos que así es, y por tanto queda x = 5263157894736842*y.

Ahora bien, podemos elegir entre diferentes opciones para el valor de y, con la condición de que x tenga 17 cifras, que puede ir desde y = 2 a y = 9. En todos los casos, obtenemos un número que cumple la condición pedida.

Las soluciones serían, por tanto, 105263157894736842*2 = 210526315789473684, o bien 157894736842105263*2 = 315789473684210526, o 210526315789473684*2 = 421052631578947368, o 263157894736842105*2 = 526315789473684210, o 315789473684210526*2 = 631578947368421052, o 368421052631578947*2 = 736842105263157894, o 421052631578947368*2 = 842105263157894736, o 473684210526315789*2 = 947368421052631578.