Números ocultos

Enunciado

Como dice David en el comentario a la entrada, la solución más evidente es trabajar con ocho variables y trazar ocho relaciones para calcular sus medias, es decir, las ecuaciones 5 = (b + c + e)/3 -> 15 = b + c + e; 5 = (a + d + f)/3 -> 15 = a + d + f; 6 = (a + d + g)/3 -> 18 = a + d + g; 8 = (b + c + h)/3 -> 24 = b + c + h; 7 = (a + f + g)/3 -> 21 = a + f + g; 6 = (b + e + h)/3 -> 18 = b + e + h; 8 = (c + e + h)/3 -> 24 = c + e + h; 6 = (d + f + g)/3 -> 18 = d + f + g.

Para resolver este enorme sistema, lo mejor es tratar de hacer desaparecer alguna de las variables, por ejemplo la a, usando para ello la segunda ecuación, 15 = a + d + f.

Como en la primera no sale a, queda igual, en la tercera restamos y queda 3 = g - f. La cuarta queda igual, y en la quinta dejamos 6 = g - d. Las demás quedan igual.

A continuación podemos usar la primera ecuación, 15 = b + c + e para eliminar la b de las seis restantes.

Ahora, la tercera queda 3 = g - f, la cuarta queda 9 = h - e, la quinta 6 = g - d, la sexta 3 = h - c, la séptima 24 = c + e + h y la octava 18 = d + f + g.

Usemos ahora la sexta, 3 = h - c, para eliminar la c de las demás.

La tercera, la cuarta y la quinta quedan como están, 3 = g - f, 9 = h - e y 6 = g - d. La séptima queda 27 = e + 2h, y la octava 18 = d + f + g.

Eliminamos ahora la d, con la quinta ecuación, 6 = g - d.

La tercera y la cuarta quedan de nuevo igual, 3 = g - f, 9 = h - e. También la séptima, 27 = e + 2h. La octava se transforma en 24 = f + 2g.

Ahora, usamos la cuarta, 9 = h - e, para eliminar e de las otras.

La tercera sigue 3 = g - f, la séptima queda 36 = 3h, y la octava sigue siendo 24 = f + 2g.

Ya podemos decidir el valor de h = 12, pero necesitamos eliminar f de la octava con la tercera, obteniendo que 27 = 3g, es decir, que g = 9. A partir de ahí, f = 6, e = 3, d = 3, c = 9, b = 3 y a = 6.

Ahora bien, cada número falso está compuesto por la suma de tres terceras partes de números verdaderos, y cada número verdadero contribuye con una tercera parte a tres números falsos. Por esto, la suma de los ocho números verdaderos es igual que la de los ocho falsos, 51.

Además, a lo largo de la resolución nos hemos encontrado una ecuación repetida de forma recurrente. Si nos fijamos en dos números falsos en la diagonal de una cara, su diferencia coincide con la tercera parte de la diferencia de los verdaderos de la misma diagonal de la cara opuesta, ya que si los restamos, anulamos la contribución que aportan los dos verdaderos de la diagonal contraria.