domingo, 28 de noviembre de 2010

Un difícil juego con polinomios

Enunciado

Como buscamos polinomios con raíces enteras, sabemos que esas raíces deben ser divisores del término independiente, luego un buen movimiento estratégico del primer jugador para que ese polinomio no tenga raíces enteras es elegir un término independiente con el menor número posible de divisores enteros.

Evidentemente, este entero será 1 ó -1, que sólo admite los divisores 1 y -1. Por concretar más la estrategia, pongamos que elige término independiente 1.

A continuación, el segundo jugador elige coeficiente, bien sea el de primer, segundo o tercer grado.

La última jugada del primer jugador consiste en eliminar las posibilidades de que el polinomio pueda tener una de esas dos raíces.

Si el polinomio tiene la raíz 1, la suma de los cinco coeficientes (1 + A + B + C + 1 = 2 + A + B + C) debe ser 0. Si tiene raíz -1, la suma 1 - A + B - C + 1 = 2 + B - A - C también debe ser cero.

El primer jugador puede asegurarse de que el segundo tenga que seleccionar el coeficiente de primer o de tercer grado, A o C, ya que si el de segundo grado está libre lo puede elegir.

Para que el segundo jugador en su último movimiento pueda ganar, debe elegir un término A o C (cuál sea es indiferente, ya que ambos juegan el mismo papel) que cumpla C = A - B - 2, para que el polinomio tenga la raíz -1 y C = -A -B - 2 para que tenga la raíz 1.

Igualando ambas expresiones, tenemos A - B - 2 = - A - B - 2, por lo que 2A debe ser 0, cosa imposible pues ninguno de los dos puede elegir el cero como coeficiente.

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