jueves, 4 de noviembre de 2010

Perímetros y áreas

Enunciado

Dividiendo la curva

Dividiendo la curva

La solución a este problema es muy sencilla, pero su explicación no lo es tanto. Varios comentarios, de nuevo, han dado en el clavo.

La respuesta a la pregunta (a) es que todas las rectas que pasan a O dividen en dos partes iguales el perímetro. La explicación se puede realizar sobre la primera de las imágenes. La línea horizontal, claramente, divide en dos partes iguales el perímetro, ya que el semicírculo mayor tiene el mismo perímetro que la suma de los otros dos, ya que sus radios (y por tanto, sus proporciones lineales) miden la mitad que el grande.

Si usamos ahora una línea que no sea horizontal, como por ejemplo la que está representada en la imagen, forma un ángulo A con la horizontal, y por tanto, resta un fragmento del perímetro inferior que será proporcional al ángulo A (Pi*R*A/180). Sin embargo, debido a la propiedad de los arcos inscritos, el arco que se le quita a la figura superior tiene un ángulo central doble (ya que el ángulo A está en el borde de la circunferencia), y como el radio mide la mitad que el inferior, una cosa se compensa con la otra. Por lo tanto las dos longitudes son iguales.

Dividiendo el área

Dividiendo el área

Sin embargo, no sucede lo mismo con las áreas. La única respuesta a la pregunta (b) es la línea vertical, ya que divide a la figura en dos partes de la misma área por simetría. Está claro que la línea horizontal separa a la figura en dos partes una de las cuales es la mitad (en área) que la otra, y si cortamos por una línea oblícua, aún es mayor el área de abajo que la de arriba, ya que el trozo que añadimos no compensa el que eliminamos, hasta el ángulo medio. No es sencillo calcular las áreas que añadimos y quitamos por proporcionalidad con el ángulo que forma la línea de corte con la horizontal, pero sí ver que aún hace falta para que sean iguales.

La clave está dibujada en la segunda imagen. Está claro que la linea vertical divide a la figura en dos partes simétricas, y por tanto de la misma área. A partir de ahí, se trata de dibujar una línea oblícua, y comprobar que la parte que se le añade en una de las zonas es mucho mayor que la que añade en la otra, puesto que si consideramos el reflejo de ese área respecto al punto O, contiene claramente la otra (ver el segundo dibujo).