martes, 16 de noviembre de 2010

Otra ecuación con raíces

Enunciado

El problema es muy similar al que resolvimos en "Una ecuación complicada". La solución también lo es.

La clave está en hacer un cambio de la forma x1/4 = t, por lo que t4 = x, de forma que la ecuación quede (97- t4)(1/4) + t = 5, que también podemos expresar como (97- t4)(1/4) = 5 - t. Elevamos a 4 ambos extremos, lo que da por resultado 97- t4 = (5 - t)4.

Desarrollando esta potencia, obtenemos que 97- t4 = 625 - 500t + 150t2 - 20t3 + t4.

Si pasamos todo el polinomio al mismo extremo, tenemos 0 = 2t4 - 20t3 + 150t2 - 500t + 528. Podemos dividir todo el polinomio por 2, para trabajar con 0 = t4 - 10t3 + 75t2 - 250t + 264.

Para buscar sus raíces mediante ruffini, probamos con los divisores de 264: 1, -1, 2. En este punto, encontramos una raíz, que será solución de la ecuación (t = 2). Aún nos queda el polinomio cociente, 0 = t3 - 8t2 + 59t - 132.

Seguimos probando divisores de 132 que no hayamos descartado: 2, -2, 3, que de nuevo vuelve a dar, obteniendo la segunda raíz, t = 3. El cociente es ya un polinomio de 2º grado, 0 = t2 - 5t + 44, al que aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado, para asegurarnos de que no tiene más soluciones.

En definitiva, que las únicas soluciones son t = 2, de donde x = 16, y t = 3, por lo que x = 81.

No hay comentarios: