Haciendo rodar un papel

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Aunque no uses las medidas exactas de una hoja de papel, puedes empezar a trabajar con medidas inventadas. Lo importante es que se comprenda si influye más en tamaño definitivo del volumen una u otra.

El volumen de un cilindro es área de la base por la altura, y para calcular el área de la base hace falta saber el radio.

Este radio se calcula a partir de la longitud de la circunferencia, que será uno de los dos lados de la hoja original. Evidentemente, esta longitud la tendremos que dividir por 2π y después, para calcular el área, elevarla al cuadrado y multiplicarla por π.

Quedaría algo parecido a (a/(2π))²*π = a²/(4π). Como la altura es la otra longitud, el resultado del volumen sería a²b/(4π).

Viendo la fórmula, está claro que si cambiamos a por b, lo que pasa es que en lugar de multiplicar dos veces por a y una vez por b, multiplicamos dos veces por b y una por a. Es decir, que para que el volumen sea mayor, es mejor que la base utilice la longitud mayor posible, es decir, que el cilindro sea gordo en lugar de delgado.

El problema de caer por un plano inclinado es más complejo, porque incluye un problema de física. Ambos cilindros pesan lo mismo, de forma que la diferencia será a causa del rozamiento que se llama de rodadura, es decir, que depende del radio. Cuanto mayor es el radio, más pequeño es ese rozamiento, así que de nuevo rodará más rápido el más gordo.

Para hacer un prisma, una de las longitudes se divide en cuatro partes iguales, de forma que saldrá una base cuadrada cuya longitud es la cuarta parte del total. El volumen será este cuarto de la longitud al cuadrado por la otra longitud. De nuevo, la fórmula será (a/4)²*b = a²b/16 y entre las dos posibilidades, será de mayor volumen el más bajito y más grueso.

Si comparamos los cilindros con los prismas de base cuadrada, tendremos que mirar ambas fórmulas, a²b/16 y a²b/(4π). En realidad, son muy similares las dos, sólo que en el cilindro dividimos por 4π y en el prisma por 16. Puesto que 4π es menor que 16 (π es menor que 4), está claro que el volumen del cilindro será algo mayor.