Una pista en el triángulo órtico

Enunciado

El triángulo órtico tiene varias importantes propiedades que son difíciles de ver si no se conocen previamente. Una de ellas es que el triángulo de longitud mínima que se puede construir dentro de un triángulo acutángulo. Otra es que los tres triángulos que quedan en el exterior de él son semejantes entre sí y semejantes al triángulo original.

Semejanza derivada del órtico

Esta última propiedad es la que necesitamos en este caso para reconstruir el triángulo original a partir de la pista que nos dan en el órtico. Pero antes, razonemos la propiedad en sí misma.

Supongamos que tenemos un triángulo acutángulo ABC y su triángulo órtico PQR, en el que P está en BC y Q en AC, como en el dibujo.

He marcado dos triángulos rectángulos que es posible dibujar y que tienen en común el ángulo BAC (o RAQ), usando las alturas del triángulo. Por ser rectánguos y compartir un ángulo, son semejantes. Eso significa que hay una razón de semejanza que transforma uno en el otro, es decir, que AB/AQ = AC/AR, por lo que se deduce que AB/AC = AQ/AR, es decir, que los segmentos AQ y AR son semejantes a AB y AC, aunque dibujados al contrario de lo que suele ser habitual en el teorema de Thales. Si pudiésemos cambiar de sitio las longitudes AR y AQ, el segmento que une R y Q sería paralelo a BC y se vería más claro.

Por lo tanto, en nuestro ejemplo, ARQ es semejante a ABC (aunque, según hemos visto, está invertido, de forma que el ángulo ARQ es en realidad igual a ACB, y AQR es igual a ABC). De la misma forma, los otros tres triángulos que el triángulo órtico marca en el triángulo original son semejantes al triángulo completo, salvo que sus ángulos están invertidos. Marcamos el mismo ángulo de los tres triángulos en un dibujo para que se visualice dónde se sitúa cada uno.

Ángulos iguales en un órtico

Como sabemos que uno de los ángulos originales es 45 grados, se observa que obliga a ser rectángulo a uno de los ángulos del triángulo órtico.

Ahora, según el enunciado, el producto de dos de los ángulos del triángulo órtico es 2009, por lo que tenemos dos casos diferentes, que uno de los participantes en el producto sea 90, o bien que sea producto de los otros dos.

En el primer caso, tendremos que uno de los otros ángulos es 2009/90 = 22º 19' 20'' y el otro será su complementario, 67º 40' 40''. Como cada ángulo del órtico, sumado al doble de un ángulo del triángulo inicial, debe ser 180, es sencillo calcular los dos ángulos que faltan. Por un lado, 180º - 22º 19' 20'' = 157º 40' 40'', por lo que el original sería 78º 50' 20''. Por otro lado, 180 - 67º 40' 40'' = 112º 19' 20'', por lo que el otro ángulo original sería 56º 9' 40''.

En el segundo caso, planteamos una ecuación de segundo grado, ya que los dos ángulos serían X y 90 - X, y su producto sería 2009, es decir, X(90 - X) = 2009, lo que lleva a que X² - 90X + 2009 = 0, por lo que X vale 49 ó 41. En ambos casos, los valores de los terceros ángulos vuelven a ser 41 ó 49, así que estamos ante una solución única, en la que un ángulo vale 41 y el otro, 49. En ese caso, los ángulos originales se calculan siguiendo el mismo procedimiento, 180 - 41 = 139, y así el ángulo original vale 69º 30', y 180 - 49 = 131, por lo que el otro vale 65º 30'.