viernes, 21 de enero de 2011

Cuarto de círculo

Enunciado

Círculo dividido en áreas iguales

Círculo dividido en áreas iguales

El enunciado es muy claro. Está claro que si dividimos un caso particular, tomando escalas apropiadas se pueden generalizar a cualquier radio.

Sin embargo, para facilitar la divisibilidad y no trabajar con fracciones, podríamos tomar un radio múltiplo de 4 en alguna unidad. El área del círculo sería 16π unidades cuadradas, por lo que cada división debe tener 4π unidades cuadradas de área. Está claro que el círculo más interno debe tener radio 2 para tener este área. La siguiente área concéntrica, si debe tener un área de 4π, al añadirle el círculo interior se convertiría en un círculo de área 8π, y su radio debe ser de √8 = 2√2 unidades (aproximadamente 2,82824).

La tercera zona concéntrica debe tener, si unimos las dos primeras, 12π unidades cuadradas. De nuevo su radio será √12 = 3√2 unidades (aproximadamente 3,4641).

Tomando la escala adecuada, si el radio, en lugar de ser 4 unidades es un radio genérico r, el círculo interior tendrá radio de longitud r/2, la siguiente división tendrá radio r*(√2)/2, y la tercera r*(√3)/2.

Es curioso observar que las proporciones intuitivas no se reconocen en el dibujo final.