Posiciones

Enunciado

Este problema empieza siendo sencillo, pero se complica después.

Puntos que forman equilátero

La primera propiedad es muy conocida para todo el mundo. La técnica para encontrar puntos que estén a la misma distancia de los dos puntos que tienes es dibujar dos circunferencias, centradas en los dos puntos, y cuyo radio es la distancia que los separa. Como todos los puntos de la circunferencia están a la misma distancia del centro, donde se corten estará a la distancia adecuada de los dos puntos. Evidentemente, hay dos soluciones distintas, una por "arriba" y otra por "debajo" de la línea que une ambos puntos.

Puntos que forman isósceles

La segunda propiedad es más extraña. Lo que buscamos es el tercer vértice de un triángulo isósceles. Hay tres posibilidades, aunque la mayoría de gente ve sólo la primera de ellas. Si los dos puntos que tenemos forman el lado distinto, entonces el tercer punto estará a la misma distancia de ambos, con lo que estará en la mediatriz, es decir, en la recta vertical que pasa por el centro del segmento. Por lo tanto, todos los puntos de esta mediatriz (excepto el mismo centro del segmento, y los puntos que hemos encontrado en el apartado anterior) podrían ser el punto que nos falta. Sin embargo, muchos se olvidan de que el segmento que tenemos puede ser uno de los que sea igual a otro. El otro punto estará a la distancia que marca el segmento de uno de los dos extremos del segmento, por lo que estará sobre una de las dos circunferencias que se pueden trazar tomando uno de los puntos como centro y el segmento como radio. Igual que en la recta, debemos quitar los dos puntos del ejercicio anterior y los que estén en línea recta con nuestro segmento inicial.

Puntos que forman paralelogramo

El tercer apartado también suele resultar difícil, porque nos olvidamos algún punto. La idea es, puesto que son paralelogramos, trazar paralelas a los lados que tenemos por el punto que no pasa por ese lado. Sin embargo, como tenemos tres puntos, podemos considerar tres segmentos. Uno de ellos será diagonal y los otros dos, lados. Según cuál consideremos que sea diagonal, las rectas serán distintas y el cuarto punto caerá en una de tres posiciones distintas. Es curioso observar que los tres puntos solución forman un triángulo semejante al inicial, pero a doble escala, es decir, que contiene a cuatro triángulos idénticos al inicial.

Puntos que forman tres isósceles

Por último, para el cuarto apartado hay que volver a razonar como en el apartado b), ya que hay que realizar el mismo dibujo para cada uno de los pares de vértices de los tres del triángulo. Los puntos de corte podrían ser los puntos que buscamos. Pero el dibujo se vuelve tan complejo que hay hasta 10 puntos de intersección (uno dentro del triángulo, tres muy próximos, tres que forman un triángulo equilátero de doble escala, y tres aún más alejados). Es sencillo comprobar que para cada uno de estas cuatro familias de puntos se cumple que los tres triángulos que formamos son isósceles.