Un punto de corte curioso

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Punto de corte curioso

Hacer el dibujo correctamente es fundamental para resolver un problema de este tipo.

Debes partir de un triángulo ABC que no tenga ninguna regularidad específica, ya que un isósceles o un equilátero puede mezclar diferentes centros y confundir la solución. Tampoco debemos usar para Q el centro del lado. Como necesitamos el incentro de los dos triángulos, ACQ y BCQ, es lógico trazar dos de las bisectrices desde Q, ya que ahorra trabajo. Claro, que como AQC y BQC suman 180 grados, es evidente que ambas bisectrices forman un ángulo de 90 grados.

De esta forma, los segmentos QI₁ y QI₂ forman un ángulo de 90 grados, por lo que el triángulo QI₁I₂ es rectángulo en Q. Como la hipotenusa es el diámetro del círculo que hemos construido, eso quiere decir que Q pertenece a la circunferencia (por el principio del arco inscrito).

Circunferencia inscrita

Para seguir razonando, conviene que trabajemos un poco con las circunferencias inscritas. Hay varias propiedades que debemos conocer. Si nos fijamos en el segundo dibujo, llamemos a esos puntos de tangencia At (segmento BC), Bt (segmento AC) y Ct (segmento AB), resulta que BC = BAt + CAt, AB = ACt + BCt y AC = ABt + CBt. Podemos observar que las distancias a los vértices de esos puntos de tangencia son iguales por simetría, por lo que ABt = ACt, BCt = BAt y CAt = CBt. Además, el perímetro del triángulo es 2*ACt + 2*BCt + 2*CAt, por lo que el semiperímetro p es ACt + BCt + CAt. De esta forma, se tiene que ACt = p - BC (porque BAt + CAt = BC), BCt = p - AB y CAt = p - AB.

En nuestro ejemplo, si situamos los puntos de tangencia de las dos circunferencias en el dibujo, es fácil razonar por semejanzas que en el segmento QP, los dos puntos de tangencia están a la misma distancia de los extremos, así que QP es suma de las distancias desde Q a los puntos de tangencia de ambas circunferencias.

Según la propiedad que hemos visto antes, en el triángulo ACQ la distancia de Q al punto de tangencia es su semiperímetro menos el lado AC, y en el triángulo BCQ, la distancia es su semiperímetro menos BC. Si sumamos las dos distancias para obtener QP, tendremos la suma de los dos semiperímetros menos AC y BC. Al sumar los dos semiperímetros obtenemos el semiperímetro del triángulo original más QC, es decir, que QP = p + QC - AC - BC = QC + p - 2p + AB = QC - p + AB.

Por eso, la distancia de P a C es QC - QP = p - AB, que es lo que queríamos demostrar.