domingo, 30 de enero de 2011

Una aproximación

Enunciado

Aproximando π

Aproximando π

Como en muchos problemas de geometría, podemos dibujarlo con una escala determinada (por ejemplo, radio que vale 1) y luego variar la escala.

La clave de las medidas que tenemos que construir es observar que esas medidas aparecen en triángulos rectángulos que podemos observar en el dibujo que acompaña estas líneas.

Si llamamos D al punto que forma con A y B un triángulo rectángulo isósceles, la distancia AD es igual a la distancia AH.

El otro punto importante es E, que forma también un triángulo rectángulo con A y con D, y la distancia AE es igual a AI.

Aplicando el Teorema de Pitágoras, la distancia AD2 = 1 + 1 = 2, por lo que AD = √2.

Y la distancia AE también es una hipotenusa, por lo que AE2 = 1 + AD2 = 1 + 2, por lo que AE = √3.

Así que la distancia IH = √2 + √3, y se trata es de aproximar la mitad de la longitud de la circunferencia, que es la mitad de 2π, es decir, π.

Tratemos de ver la coincidencia: √2 + √3 vale aproximadamente 3.1462... y π vale 3.1415... Está claro que la diferencia es de 0.0046... que es aproximadamente, en porcentaje, un 0.15% mayor.

Claro, que si el radio fuese otro número, las longitudes irían multiplicadas por ese factor, así que la diferencia sería de r*0.0046..., es decir, que la aproximación seguiría siendo un 0.15% aproximadamente mayor que el valor real de la longitud de media circunferencia.