Cuatro puntos

Enunciado

Este problema me ha parecido fascinante. Hacía tiempo que no encontraba un problema con un reto tan interesante.

La idea que he seguido para explorar todas las posibilidades es trazar circunferencias. Imagina que partes del punto del que más líneas iguales salgan. Al menos, tendrá dos iguales, ya que parten tres de él. La idea que se me ocurrió es explorar todas las distribuciones de puntos a partir de ahí.

Primera distribución

La primera posibilidad es que los tres puntos estén a la misma distancia de él (sobre una circunferencia). Si consideramos uno de los puntos, piensa que también tenga los otros dos puntos a la misma distancia (sobre otra circunferencia). Esta situación determina, por la intersección de dos circunferencias del mismo radio) la posición de los puntos. La forma que queda es la de un rombo, y sólo una distancia será diferente (y más larga).

Segunda y tercera distribución

La segunda posibilidad es que los tres puntos estén sobre la circunferencia, pero sólo dos de ellos estén a la distancia del radio (con lo que forman con él un triángulo equilátero). El tercer punto, que no puede estar a la misma distancia del centro que de uno de los otros puntos, porque volvería a repetir la misma disposición de antes, estará a la misma distancia de los dos, por lo que formará un triángulo isósceles, es decir, estará sobre la mediatriz. Hay dos posibilidades, evidentemente. La primera de ellas tiene distancias mayores que la del radio original, y la otra, menores. Las dibujo una a continuación de la otra.

Cuarta distribución

Una vez que hemos agotado esta posibilidad, sólo nos queda suponer que ninguno de los tres puntos está a la misma distancia de otro que del punto central. pero eso significa que entre los tres están a la misma distancia, formando un triángulo equilátero. Esta será la cuarta distribución de puntos.

Por lo tanto, pasamos ahora a suponer que sólo dos de los puntos están a la misma distancia de uno de ellos (porque ya hemos explorado todas las distribuciones de ese tipo). Llegamos al apartado más difícil.

Imagina el punto central de la circunferencia. Sobre la circunferencia sólo puede haber dos puntos. Y la distancia entre ellos ya no puede ser igual al radio, ya que si lo fuese, formarían un triángulo equilátero, y el tercer punto estaría a la misma distancia de los tres (cosa que ya hemos visto) o volvería a estar a distancia del radio de uno de los puntos, con lo que ese punto estaría a la misma distancia de los tres.

Ahora, la distancia entre esos dos puntos será la que sea distinta. Si el cuarto punto está fuera de la circunferencia, su distancia al centro coincide con la distancia a la que están los otros dos puntos. De nuevo, no puede ser que el punto que falta esté a la misma distancia nueva de los dos de la circunferencia, pues volverían a formar un triángulo equilátero y no puede ser. De esta forma, tenemos dos posibilidades: o el último punto está a distancia radio de los dos de la circunferencia, o bien está a distancia radio de uno y a la otra distancia del otro.

A partir de aquí, en el primer caso es fácil entender que forman un cuadrado, ya que los cuatro lados "exteriores" son iguales, y los dos interiores también son iguales entre ellos. Esta es la figura que venía de ejemplo en el enunciado.

Sexta y última distribución

La última figura es más difícil de visualizar. Tres lados son iguales, y el cuarto es igual que las distancias que la cruzan (diagonales). Se forman en este caso nada menos que cuatro triángulos isósceles entre los puntos, iguales dos a dos. Si estudiamos las relaciones que se dan entre los ángulos, encontraremos que este cuadrilátero es ni más ni menos que un trapecio, y no uno cualquiera, si no un trapecio isósceles cuyo ángulo mayor es 108 grados.