Entero o irracional

Enunciado

La idea es que no puede ser igual a una fracción propia, es decir, que no es un número periódico.

Para demostrar esta afirmación, nos vamos a apoyar en la demostración de la irracionalidad de √2, que normalmente todos debéis haber visto en clase.

Por si no la habéis visto voy a hacer una revisión rápida. Se procede por reducción al absurdo, se supone que el valor de este número es una fracción a/b, con a y b primos entre sí, ya que si no lo fuesen, simplificaríamos la fracción. Después se toma la igualdad, se quitan raíces y denominadores y se llega a la expresión 2b² = a², por lo que a² es par. Debido a eso, a debe ser par, pues si a fuese impar, a² también debería ser impar. Luego a = 2k para algún k, y si sustituimos en la igualdad anterior, llegamos a que 2b² = 4k², por lo que b² = 2k², de donde tenemos que también b es par, lo cual es absurdo, pues habíamos supuesto que la fracción a/b no se podía simplificar más. De ahí que √2 no puede ser racional.

Aplicado a el problema que nos ocupa, podemos empezar comprobando que para todo n natural, √n debe ser, o bien entero, o bien irracional.

Procedamos igual, por reducción al absurdo. Si no es entero ni irracional, √n es de la forma a/b, y podemos simplificar la fracción hasta que a y b sean primos entre sí. Además, b debe ser mayor que 1, ya que si no, √n sería entero.

Ahora, supongamos que p es un primo que divide a n (n = pk). Si quitamos la raíz elevando al cuadrado y denominadores llegamos a la siguiente igualdad con enteros, nb² = pkb² = a², luego p divide a a², y por tanto debe dividir a a. Eso significa que a = pt, y la igualdad se transforma en pkb² = p²t². Simplificando, kb² = pt². Como p no divide a b, pues era primo con a, debe dividir a k, y por tanto k = ps, por lo que sb² = t², y podemos repetir el razonamiento. Eso significa que todos los factores primos de p están repetidos dos veces, lo que implica que su raíz es entera. Lo cual estaba descartado desde el principio.

También se puede razonar suponiendo que hemos encontrado el menor n para el que se da esta expresión, y por el método que hemos construido, se llega a otro valor s menor que n que es de esta forma.

Una vez visto esto, podemos construir otro razonamiento análogo para raíces cúbicas, ya que el método para quitar una raíz cúbica es, sencillamente, elevar al cubo, y obtendríamos otra expresión de la forma nb³ = pkb³ = a³ y razonaríamos de la misma manera. De hecho, se puede demostrar para raíces de índice genérico.

Ahora bien, imaginemos que tenemos n y m naturales. Si la expresión √n + ³√m = a/b, con a y b mutuamente primos y b > 1, entonces √n no puede ser entero, pues podríamos despejar ³√m en forma de una fracción irreducible, que sabemos que es imposible. Tampoco ³√m puede ser entero, por la misma razón, es decir, podríamos despejar √n y sería una fracción. Sin embargo, en la igualdad √n + ³√m = a/b podemos quitar denominadores y despejar, dejando b*³√m = a - b√n. Elevamos al cubo para quitar la raíz cúbica, y obtenemos mb³ = a³ - 3a²b√n + 3anb² - nb³*√n (esto se puede comprobar si sabemos desarrollar el cubo de una resta, o multiplicando como polinomio tres veces a - b√n y aplicando propiedades de la raíz cuadrada).

Agrupando las raíces, tenemos la expresión mb³ = a³ + 3anb² - (3a²b + nb³)√n, así que podemos despejar √n, transformando la igualdad en a³ + 3anb² - mb³ = (3a²b + nb³)√n y por tanto √n = (a³ + 3anb² - mb³)/(3a²b + nb³). De esta forma, √n debe ser racional o entero, cosa que no puede ser por el razonamiento que hemos hecho antes.

Luego la suma √n + ³√m, o bien es un número entero, o bien es un número irracional, como queríamos demostrar.