Sorpresa en un decágono

Enunciado

Voy a comenzar por publicar una solución que me ha remitido Ricard Peiró, que, jugando con cabri y el Teorema de Ptolomeo, ha encontrado una solución.

Decágono regular

Evidentemente, empezamos por dibujar una figura (parecida a) un decágono regular. Si hemos de dibujarla con regla y compás, dibujaremos primero un pentágono regular y dividiremos en dos partes desde el centro sus caras. Trazando una circunferencia circunscrita, encontraremos con facilidad los puntos de corte del decágono.

En cualquier caso, hay muchos segmentos posibles que pueden hacer el papel de A₁A₄ y A₁A₂. En el dibujo de Ricard, ha encontrado un cuadrilátero formado con lados y diagonales del decágono, empleando los vértices A₁, A₂, A₄ y A₆.

Es sencillo ver que A₁A₆ es un diámetro de la circunferencia, que A₁A₂ es un lado del decágono, que A₂A₄ y A₄A₆ son lados del pentágono correspondiente, A₁A₄ es uno de los segmentos que aparecen en el problema, y A₂A₆ es una diagonal del pentágono.

Si has estudiado algo de geometría del pentágono regular, sabrás que el cociente entre una diagonal y el lado es el llamado número áureo, representado por la letra griega φ = (1 + √5)/2. En nuestro caso, |A₂A₆|/|A₂A₄| = φ.

En un decágono se da también otra relación muy especial, ya que el ángulo central de cada lado es 360/10 = 36 grados, dibujando dos radios formaremos un triángulo isósceles de ángulo desigual 36 grados, que es semejante al que se forma entre un lado del pentágono y dos de sus diagonales. Esto quiere decir que un radio dividido entre un lado del pentágono también equivale a φ. Entre los puntos que hemos escogido, esto significa que que |A₁A₆|/2|A₁A₂| = φ.

Por otra parte, Ricard usa el Teorema de Ptolomeo, que afirma que si un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia, entonces, el producto de sus diagonales es igual a la suma de los producto de sus lados opuestos. En realidad, es un resultado derivado del arco inscrito, y es muy útil a la hora de trabajar con circunferencias y segmentos.

En nuestro cuadrilátero, aplicar este teorema significa que |A₁A₂|*|A₄A₆| +|A₂A₄|*|A₁A₆| = |A₁A₄|*|A₂A₆|.

En esa relación, llamemos p al lado del pentágono, tenemos que |A₁A₂|p + |A₁A₆|p = |A₁A₄|*|A₂A₆|.

Si, además, llamamos r al radio de la circunferencia, tenemos que |A₁A₂|p + 2rp = |A₁A₄|*|A₂A₆|. Según hemos visto, |A₂A₆| = pφ, y |A₁A₂| = r/φ, de forma que la igualdad queda rp/φ + 2rp = |A₁A₄|*pφ. Podemos ahora simplificar por p, quedando r/φ + 2r = |A₁A₄|*φ, es decir, |A₁A₄| = r/φ² + 2r/φ = r*(1 + 2φ)/φ².

Ahora, como es bien sabido que φ² = 1 + φ, tenemos que (1 + 2φ)/φ² = (φ² + φ)/φ² = 1 + φ/φ² = 1 + 1/φ.

Por lo tanto, |A₁A₄| = r*(1 + 1/φ) = r + r/φ = r + |A₁A₂|, que es lo que se quería demostrar.

Hay otras maneras de llegar a esta conclusión, algunas de ellas con razonamientos basados en semejanza y paralelismo, pero he querido incluir esta colaboración, que incluye elementos de geometría clásica.