Ternas que dividen a la suma

Enunciado

En este problema, lo mejor es tratar de probar a construirte un ejemplo. Evidentemente, si tenemos que dividir muchas veces, lo mejor es probar con 1, que es el divisor universal, y la primera terna que se suele ocurrir es 1, 1, 1, en la que claramente, cada número divide a la suma de los otros.

Ya tenemos una, ahora podemos empezar a trabajar otras cosas. Como no puede haber otro caso en que sean iguales (pues no sería una terna primitiva), ¿qué pasa si hay dos iguales, y el otro ya no es igual? Es decir, si tenemos una terna (n, n, m) o (m, n, n), con esta propiedad, se tiene que m divide a 2n. Si es diferente a n, o bien es exactamente 2n, en cuyo caso llegamos a la terna (1, 1, 2), ya que no pueden tener divisores comunes, o bien es menor que n. En este último caso, una vez que le quites todos los divisores comunes con n, sólo puede quedar 2 o 1. Sin embargo, si fuese 1, eso obliga a que n debe dividir a n + 1, lo cual es imposible para n mayor que 1, o bien n debe dividir a n + 2, que tampoco puede ser para n mayor que 2.

Bueno, pues ya nos hemos quitado el caso en que se trate de dos o tres números iguales, vamos a tratar con números distintos.

Supongamos que el más bajo es 1. El segundo, es decir, b, debe dividir a c, pero el tercero, c, debe dividir a b + 1, así que debe ser b + 1 (ya que si no, no sería mayor que b y menor o igual que b + 1). Sin embargo, b debe dividir a b + 2, así que debe dividir a 2, y eso quiere decir que es 2 (no puede ser 1, ya que sería igual que a). Por lo tanto, tenemos otra terna: (1, 2, 3).

Si el menor no es 1, hay un primo p que lo divide. Trabajar con primos es muy cómodo, ya que puedes seguirles la pista en una igualdad. Ese primo no puede dividir a otro de los números b o c, porque si es así, divide a los tres. Esto se prueba de la siguiente forma: como a divide a b + c y p divide a a, p divide a b + c, por lo que no puede dividir sólo a uno de los dos.

Ahora vamos con el mayor número. Puesto que es mayor que b, y divide a a + b, debe ser menor que a + b y mayor que b. Como el mayor factor de a + b (después de él mismo) es menor que b, ya que a + b es menor que 2b, c debe coincidir con a + b. Así que nuestra terna queda de la forma a, b y a + b. Sin embargo, b debe dividir a 2a + b, por lo que debe dividir a 2a. Eso se reduce, puesto que no tiene factores comunes con a, a que b sea 2 o 1, casos que ya se han tratado.

Así que las únicas ternas ordenadas válidas son (1, 1, 1), (1, 1, 2) y (1, 2, 3).