lunes, 2 de mayo de 2011

Un rectángulo cortado (III)

Enunciado

Las formas de cortar un rectángulo en seis rectángulos más pequeños son siempre utilizando cortes paralelos a los lados, ya que si algún corte no fuese paralelo a los lados, el primero que no fuese paralelo empezando por un lado no formaría un rectángulo.

Es necesario hacer cinco cortes para obtener seis rectángulos, pero se pueden hacer en cualquiera de las dos direcciones, y antes o después (en un orden u otro). Según las direcciones obtenidas podemos clasificarlos, haciendo familias de cortes. Ha sido muy interesante ver las propuestas de clasificación que ha hecho cada persona que ha concursado.

cortar un rectángulo

cortar un rectángulo

La forma de dividir los rectángulos para armar el rompecabezas era difícil de descubrir, aunque ensayando sobre casos concretos se podía generalizar muy pronto.

La idea era que todo rectángulo de lados a y b se puede dividir en un cuadrado y un rectángulo con un único corte (vale, si nos ponemos técnicos, hay una excepción: que el rectángulo tenga doble base que altura o viceversa). El corte se hace en un punto que (si b>a) divide la longitud b en dos segmentos de longitud a y b - a. Ahora, se trata de dividir todos los rectángulos en una proporción equivalente, es decir, que si su lado paralelo a los lados b mide x, trazamos una línea que lo divida en dos verticalmente, de longitudes x*a/b y x*(b - a)/b. Los trozos de tamaño x*a/b los situamos en la misma posición que ocupaba el rectángulo original, mientras que los otros trozos se sitúan en idéntica posición, componiendo otro rectángulo. Podemos entender fácilmente que se forma un cuadrado de tamaño a*a y un rectángulo de tamaño a*(b - a), ambos con idéntica descomposición que el rectángulo original. En el dibujo podemos ver un ejemplo con menos piezas.