Cuadrados que suman grandes números

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Como resulta sencillo de observar, este problemas es más complicado que la mayoría.

Evidentemente, para poder solucionarlo, es necesario empezar con potencias de 2 más bajas, observando, por ejemplo, 4, que sólo tiene una suma posible con cuatro cuadrados, 1 + 1 + 1 + 1. El 8, que es la siguiente potencia, no tiene ninguna suma posible, ya que los cuadrados pequeños no pueden agruparse para dar 8. De la misma forma, 16 es suma únicamente de 4 + 4 + 4 + 4, 32 no admite suma de este tipo y 64 = 16 + 16 + 16 + 16.

La primera observación es que parece que las potencias que admiten una suma de este tipo deben ser los cuatro sumandos iguales. Y la mitad de potencias (las de exponente impar) no las admiten.

Un truco que se puede usar para trabajar en este tipo de problemas es usar los restos al dividir por un determinado divisor. En este caso vamos a usar el 8 por ser una potencia de 2, y lo suficientemente grande para empezar a provocar problemas. Los restos al dividir por 8 pueden estar entre 0 y 7 (o entre -3 y 4). Puesto que las principales operaciones trabajan bien con los restos (los restos de la operación coinciden con la operación con los restos), podemos observar que los cuadrados de los números sólo pueden tener restos 0, 1 o 4. Puesto que las potencias de exponente mayor o igual a 3 tienen un resto evidentemente de 0, la igualdad se tiene que dar sin usar ningún número cuyo cuadrado de de resto 1, puesto que sumando menos de ocho unos no conseguimos ningún número múltiplo de 8.

Razonando de esta forma, una supuesta suma de este tipo debe hacerse con números cuyos cuadrados tengan un resto 0 o 4 al dividirse por 8, es decir, que deberán ser pares. Eso significa que esos números se podrán escribir como 2a, 2b, 2c y 2d, por lo que la suma de sus cuadrados será 4*(a² + b² + c² + d²). Puesto que al otro lado de la igualdad hay una potencia de 2, podemos dividir por 4 y rebajar la situación a un caso anterior.

Ya casi lo tenemos. Puesto que una suma de cuatro cuadrados puede reducirse (si la potencia es mayor que 3) a un caso similar, pero con una potencia dos unidades menor, podemos afirmar que sólo habrá dos casos. Las potencias pares, que cuando bajen a la primera potencia par por debajo del límite serán como 4, y por tanto serán suma de cuatro cuadrados iguales, y las impares, que bajarán a 2, que no tiene ninguna suma posible de ese tipo, por lo que tampoco ellos la tendrán.

Luego 2²⁰¹¹ no se puede expresar como suma de cuatro cuadrados y 2²⁰¹² = 2²⁰¹⁰ + 2²⁰¹⁰ + 2²⁰¹⁰ + 2²⁰¹⁰.