domingo, 21 de agosto de 2011

Los asientos del teatro

Enunciado

La mejor manera de resolver los problemas de probabilidad es haciendo un árbol de sucesos disjuntos e ir apuntando las probabilidades en cada caso, condicionadas a la posición del árbol, para al final multiplicarlas todas, calcular el peso de cada rama y sumar las ramas favorables.

En nuestro caso, vamos a suponer que queremos calcular la probabilidad de que María se tenga que cambiar de asiento. Por lo tanto, vamos a ir apartando probabilidades de manera clara en casos complementarios.

Cuando llega Ana, sólo hay un asiento libre. La probabilidad de que su asiento esté libre es, por tanto, de 1/4, pero en ese caso María no se tiene que cambiar de asiento, por lo que la rama que nos interesa tiene una probabilidad de 3/4 (el asiento de Ana está ocupado).

Ahora, suponiendo que el asiento esté ocupado, hay 1/3 de probabilidad de que la que lo ocupa sea Ana, y en ese caso se tendría que cambiar (ya tenemos una rama favorable, 3/4*1/3). Sin embargo, también hay que seguir lo que sucede en la rama complementaria (probabilidad 2/3), que la ocupe otra de las hermanas, que por supuesto se tiene que levantar.

Ahora, Ana ya está en su sitio, y hay otra hermana buscando su sitio. Hay una probabilidad de 1/3 de que su sitio esté vacío, pero en ese caso María no cambia de asiento y no nos interesa, la rama contraria (su asiento está ocupado) tiene probabilidad 2/3.

Como Ana ya está en su asiento, hay una probabilidad de 1/2 de que la que ocupa el asiento sea María, y en ese caso, esa rama también es favorable (3/4*2/3*2/3*1/2), aunque también hay que seguir la rama complementaria, de que sea la tercera hermana.

En este último caso, se abren dos ramas de nuevo, que su asiento esté libre (1/2, María se queda en su asiento, que resulta ser realmente su asiento), o bien que esté ocupado, en este caso por María, que encuentra que su asiento era el que estaba libre, 1/2 de probabilidad. Esta última rama tiene de probabilidad 3/4*2/3*2/3*1/2*1/2.

Ahora hay que sumar las tres probabilidades, 3/4*1/3 + 3/4*2/3*2/3*1/2 + 3/4*2/3*2/3*1/2*1/2. Simplificando en cada fracción, obtenemos 1/4 + 1/6 + 1/12 = 3/12 + 2/12 + 1/12 = 6/12 = 1/2.

Efectivamente, la probabilidad de que María se tenga que levantar es del 50%.

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