Reunión de la ONU

Enunciado

La solución es algo más compleja de lo que afirma el comentario de Pablo Sussi, porque, aunque el número de representantes debe ser, efectivamente, múltiplo de 25, puede ser un múltiplo que permita divisiones en mesas de cantidades diferentes a un divisor de 25.

Veamos primero por qué debe ser múltiplo de 25. Como el número de representantes del país A debe ser doble y cuádruple de algo, debe ser múltiplo de 12, es decir, de la forma 12k. Por otra parte, el número de representantes del país B será 6k, el de C será 4k y el de D será 3k. En total, el número de representantes debe ser, por tanto, 12k + 6k + 4k + 3k = 25k.

Está claro que podemos dividir estos mandatarios en mesas de 25 siguiendo las condiciones del problema, ya que podemos situar 12 mandatarios de A en cada mesa, 6 de B, 4 de C y 3 de D. En realidad, hay muchas formas de dividir a los de B, C y D. Si no queremos que haya superioridad numérica de A, lo más complicado será repartir escrupulosamente los representantes de A.

Veamos que cualquier cantidad r inferior en la que queramos repartir a los mandatarios en mesas iguales obligará a que en una mesa los representantes de A no estén en inferioridad.

Supongamos que r es una cantidad impar, es decir r = 2s + 1. Si r no es múltiplo de 5, entonces debe haber un total de 25*(2s+1)*t para algún valor de t, y habrá 25t mesas, de las cuales a lo sumo s de cada mesa son de A, pero entonces s*25*t ≥ 12*(2s + 1)*t, por lo que s*25*t ≥ 24st + 12*t, y de ahí s*t ≥ 12t, por lo que s ≥ 12, por lo que r debe ser al menos 25.

Una demostración similar de que es imposible es válida para 5 y 15, teniendo en cuenta que en ese caso el número total de representantes es de la forma 25k y 75k, respectivamente.

Si r es par y no múltiplo de 5, la demostración también es sencilla, ya que en ese caso r = 2s, y la cantidad máxima de representantes de A debe ser s - 1, por lo que s*25*t -25t ≥ 12*2s*t, por lo que s*25*t ≥ 24s*t + 25t, y tenemos que st ≥ 25t, y s debe ser al menos 25 (y r 50).

Los casos en los que r vale 10 o 20 se deben tratar a parte, como antes, ya que la cantidad de representantes total debe ser entonces 50k o 100k respectivamente, y la demostración de que es imposible es similar.

Por lo tanto el menor número de representantes por mesa debe ser 25.