Fracciones enteras

Enunciado

Aparentemente, el objetivo de este problema es que encuentres la solución a la ecuación x² + 1/(x²) = 7. Sin embargo, nos preguntan el valor de x⁵ + 1/(x⁵). Si intentamos resolver la ecuación que hemos dicho, la expresión será un radical (fracción de sumas de raíces), y elevarla a 5 y operar con ese número no promete ser sencillo.

Vamos a probar otro enfoque, consistente en buscar propiedades de la expresión x² + 1/(x²) que nos lleven a algo parecido a x⁵ + 1/(x⁵).

¿Que pasa con esa expresión si la elevamos al cuadrado? (x² + 1/(x²))² = x⁴ + 1/(x⁴) + 2 (recuerda la expresión del cuadrado de la suma). Como esa igualdad debe ser igual a 7² = 49, tenemos que x⁴ + 1/(x⁴) + 2 = 49, por lo que x⁴ + 1/(x⁴) = 47.

Si buscásemos x⁴ + 1/(x⁴) en lugar de x⁵ + 1/(x⁵), ya lo tendríamos. Lamentablemente, no es así. Pero ese razonamiento me da una idea. ¿Se podrá hacer algo parecido con x + 1/x y x² + 1/(x²)? Resulta que (x + 1/x)² = x² + 1/(x²) + 2. Eso quiere decir que, como x² + 1/(x²) = 7, x² + 1/(x²) + 2 = (x + 1/x)² = 9, es decir, que x + 1/x = 3 (o a -3, sólo que como el enunciado dice que x es positivo, debe ser 3).

Parece que nos vamos acercando, tenemos x⁴ + 1/(x⁴) = 47 y x + 1/x = 3. ¿Qué pasará si los multiplicamos? (x⁴ + 1/(x⁴))(x + 1/x) = x⁵ + 1/(x⁵) + x³ + 1/(x³) = 47*3 = 141.

Casi lo conseguimos, solo que nos "sobra" x³ + 1/(x³). ¿Podemos averiguar su valor? Tal vez si multiplicamos x² + 1/(x²) = 7 por x + 1/x = 3, se aclare. (x² + 1/(x²))(x + 1/x) = x³ + 1/(x³) + x + 1/x = 7*3 = 21. Por lo tanto, x³ + 1/(x³) + 3 = 21, es decir, que x³ + 1/(x³) = 18.

Sólo nos queda dar el paso final, x⁵ + 1/(x⁵) + x³ + 1/(x³) = x⁵ + 1/(x⁵) + 18 = 141, de donde x⁵ + 1/(x⁵) = 123, que evidentemente es un número entero.

Por cierto, que hay dos posibles valores para x, y ninguno de los dos tiene una expresión sencilla (3 + raíz(5))/2 y (3 - raíz(5))/2. Como verás, ninguno de ellos es cómodo para elevarlo a 5, o para dividir por él (uno es inverso del otro, de todas formas). Tal vez al ser inverso uno del otro no fuese tan difícil. Ver que esas son las dos únicas soluciones positivas de la ecuación inicial, y calcular su potencia 5 sería otra manera de abordarlo.

El área de la flecha

Enunciado

Dada la simetría de la flecha, podemos partir en dos la punta y construir con ella un cuadrado, ya que sus ángulos en el punto D serían de 45 grados. El lado del cuadrado sería 5 cm + 5 cm = 10 cm (suma la mitad de la longitud AG con la EF). Es decir, que el área de la punta sería de 100 cm². El rectángulo que forma el cuerpo de la flecha es sencillo de calcular, 20*10 = 200 cm², lo que hace que la flecha tenga un total de 300 cm².

El rectángulo que la envuelve tiene 5 + 20 + 10 + 5 = 40 de largo (ten en cuenta que la longitud desde el rectángulo hasta la punta de la flecha mide el lado del cuadrado que hemos calculado antes) y 5 + 5 + 10 + 5 + 5 = 30 de alto, es decir, 40*30 = 1200 cm² de área.

Como has visto, la clave en este tipo de ejercicios es fragmentar adecuadamente los dibujos, teniendo en cuenta la información disponible. También podríamos haber calculado la longitud entre E y D, considerando la punta de flecha como medio cuadrado, pero luego habría hecho falta que encontrásemos de alguna forma el ancho de la flecha, es decir, medir la mitad de su diagonal.

Dividiendo el círculo

Enunciado

La pregunta parece estar orientada a que nos dejemos llevar por la regularidad y digamos que, como 1 da 2 partes y 2 resulta dividir en 4, con 3 segmentos se divide en 8 partes (lo que es imposible, como veremos) o en 6 (si tienen que ser partes iguales, esta sería la respuesta).

Pensando un poco, para que se divida una circunferencia en más partes, hace falta que el nuevo trazo corte a los anteriores, ya que los nuevos trozos deben tener un fragmento del segmento en su frontera, y este fragmento tendrá un principio y un final. Como tanto uno como otro se comparten con otras partes, basta contar cuántas veces podemos cortar los segmentos que ya existen.

Probemos con lo que ya sabemos. Pensemos en la circunferencia. Con un segmento (que corta a la circunferencia en 2 puntos) la dividimos en 2 partes. Al trazar un nuevo segmento, si corta al anterior, tendremos 1 punto de corte con segmentos y 2 con el borde de la circunferencia, lo que origina 4 partes. Observa que si no corta al anterior segmento, sólo divide la circunferencia en 3 partes, pero nos preguntan por el máximo número de partes.

Al trazar el tercer segmento, podemos hacer que corte a los dos anteriores, por lo que originará una parte al cortar a la circunferencia, y una por cada corte con los 2 segmentos, es decir, 3 partes nuevas, lo que hace un total de 4 + 3 = 7.

Si seguimos con el cuarto, cortará a los 3 anteriores, es decir, creará 4 nuevas partes, hasta un total de 11.

Con 5 segmentos, habrá que añadir 5 nuevas partes, lo que producirá 16 en total, aunque algunas de ellas tendrán un tamaño diminuto.

Suponiendo que conseguimos cortar todos los segmentos anteriores con cada uno nuevo que añadamos, al llegar a 10 habremos añadido 16 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 16 + 16*5/2 = 16 + 40 = 56.

Monedas atrapadas

Enunciado

No es un problema tan sencillo como parece. Puede que al principio te interese probar en enrejados más pequeños, comprobar que en un enrejado 2x2 hacen falta por lo menos 2 monedas, pero que en un 2x3 también nos basta con dos monedas si las sabemos colocar bien.

Colocando una moneda

Para poder resolver el problema del todo y sin ninguna duda (¿podré hacerlo con menos?) hay que fijarse en un detalle importante: cuando colocamos una moneda en un cuadriculado de ese tipo, quedan satisfechos (en el sentido que indica el enunciado) cuatro cuadrados como mucho: aquél en la que la colocamos y los tres que le tocan un lado (ver dibujo).

Claro, que para tener satisfechos los 18 cuadrados de la configuración 2x9, hacen falta más de 4 monedas, porque con 4 sólo satisfaríamos como mucho 16 (4x4). Si damos con una combinación de 5 que cumpla las condiciones, tendremos resuelto el problema.

Fijándonos en el dibujo anterior, y partiendo de uno de los extremos, es fácil obtener un relleno con cinco monedas (hemos pintado los cuadrados para indicar cercanía a una de las monedas).

Cinco monedas

Coincidencia de centros

Enunciado

Este problema incluye dos conceptos que debemos revisar previamente para buscar la solución: el centro de la circunferencia inscrita (incentro) de un triángulo y el centro de la circunferencia circunscrita (circuncentro) de otro triángulo. ambos triángulos tienen dos puntos en común (B y C), y uno de los ángulos es la mitad de otro, pero eso lo consideraremos más adelante.

Incentro

Empecemos por el incentro. Su principal característica es que es el centro de la circunferencia inscrita, por lo que ésta es tangente a los tres lados. De ahí, las verticales de los lados al centro (en el dibujo, GF, GE y GH) miden todas lo mismo (el radio de la circunferencia). Por otra parte, para que el incentro esté a la misma distancia de los tres lados, pertenece a las tres bisectrices interiores de los mismos, de forma que las líneas que lo unen a los vértices del triángulo (en el dibujo, GB, GC y GD) dividen en dos ángulos iguales a cada uno de los vértices. La coincidencia de ángulos y longitudes hace que, en cualquier incentro, se den unas curiosas igualdades de triángulos rectángulos, que en el dibujo serían CFG = CGH, BEG = BFG y DEG = DEH. Y esto llevaría a unas consideraciones sobre áreas que no nos interesan ahora.

Circuncentro

Vamos con el circuncentro. Su principal característica es que está a la misma distancia de los tres vértices del triángulo, por lo que los segmentos que lo unen a los tres vértices (en el dibujo, GA, GB y GC) son de la misma longitud, por lo que los triángulos que se forman con dos de esos segmentos (en el dibujo, BCG, BAG y ACG) son isósceles. Para estar a la misma distancia de dos puntos, se debe estar sobre la perpendicular por el centro (mediatriz) al segmento que los une. Por eso se suele calcular el circuncentro intersecando las perpendiculares a los lados por su centro. Dicho de otra forma, las perpendiculares desde el circuncentro a los lados del triángulo (en el dibujo, GE, GF y GI) lo dividen en dos segmentos iguales. También esta circunstancia daría lugar a más consideraciones, pero nos vamos a conformar con esta información, de momento.

Los dos centros

Vamos ya a nuestro problema. Representamos la información que nos dan, trazando los radios más significativos de las dos circunferencias concéntricas (tienen el mismo centro), y vamos a observar algunas propiedades del dibujo. Por ser circuncentro, G divide el ángulo DCB en dos iguales, que serán la cuarta parte de ACB, ya que CD divide en dos partes iguales a este ángulo.

Por otra parte, por ser G circuncentro, CF = BF, por lo que el triángulo BFG es idéntico a CFG, así el ángulo CBG es el mismo que GCB. Este ángulo parece importante, vamos a ponerle un nombre, llamémosle x. Esto significa que ACB mide 4x. Pero GB es bisectriz de ABC, por lo que ABG también mide x, así que ABC mide 2x.

Vamos a tratar de llegar al último de los ángulos del triángulo inicial. De nuevo E parte en dos segmentos iguales a AB, por ser G circuncentro, de donde AEG es igual a BEG, y de nuevo el ángulo x aparece en BAG. Y como CG y AG son radios de la circunferencia circunscrita, ACG es isósceles en G, por lo que el ángulo CAG es el mismo que ACG, 3x. En definitiva, CAB es de nuevo el ángulo 3x + x = 4x.

Como en todos los triángulos, sus ángulos deben sumar 180 grados, en este caso 4x + 2x + 4x = 10x, de donde x mide 18 grados.

Por esta razón, los ángulos del triángulo ABC son 72 en A y en C, y 36 en B. Esto me ha permitido dibujar con precisión el dibujo, ya que en los borradores que hice a mano no se "apreciaba" tan claramente la coincidencia de centros.

Alterando un triángulo

Enunciado

El área de esta figura (un triángulo) se puede calcular a partir de sus datos mediante el producto de la base por la altura, dividiendo entre la constante 2.

Antes de lanzarte a calcular con variable, si no te sientes cómodo con ellas, puedes hacer un cálculo concreto. Piensa en un triángulo rectángulo isósceles de cateto 2 cm, por ejemplo, apoyado sobre uno de sus catetos. Aumenta el que marca la base, hasta 2,2 cm, y disminuye el de la altura hasta 1,8 cm. Su área pasa a ser 1,8*2,2/2 = 1,98 cm², frente a los 2 cm² anteriores.

Como dice Anil en los comentarios, para saber si aumenta o disminuye después de variar las dimensiones, basta ver qué sucede realmente con los valores. Su altura disminuye un 10%, lo que significa que mide un factor 0,9 de lo que midiese antes, mientras que la longitud de su base aumenta un 10%, lo que significa que queda multiplicada por un factor 1,1. La nueva área, en relación a la antigua sería (0,9*h)(1,1*b)/2 = 0,99*(h*b)/2, lo que significa que la nueva área es 0,99 multiplicado por la antigua, o dicho de otra forma, un 1% menor.

Observa que esto es independiente del valor de la altura o de la base iniciales.

Equilibra la balanza

Enunciado

En estos casos, se plantean una serie de igualdades que debemos usar para obtener alguna conclusión. Lo normal es tratar de combinar, mediante sumas y restas, las igualdades que tenemos para obtener el resultado, aunque a veces no es tan sencillo.

En el caso que nos ocupa sí que es sencillo, ya que añadiendo lo que hay en los platos izquierdos de las dos balanzas equilibradas en un lado y lo que hay en los dos derechos al otro lado, obtenemos la igualdad de dos caritas, un sol, una nube y dos rayos pesa lo mismo que cinco rayos, dos soles y una nube, como se ve en el siguiente dibujo. Observa, sobre todo, que conseguimos tener dos caritas juntas, que es nuestro objetivo.

Combinando

Ahora, podemos quitar dos rayos de ambos platos de la balanza, así como un sol y una nube, de forma que la balanza sigue equilibrada. Pero ahora, sólo tenemos dos caritas en un lado, que era nuestro objetivo. ¿Que queda en el otro plato? Tres rayos y un sol. Esta podría ser una respuesta aceptable. ¿Será la única?

Resultado

Contar ángulos

Enunciado

Equiláteros pequeños

Lo primero que hemos de hacer es buscar figuras que nos permitan reconocer ángulos de la medida que nos piden. Lo más sencillo es buscar triángulos equiláteros, cuyos ángulos miden 60 grados (recuerda que entre los tres, que son iguales, han de sumar 180) y que estén divididos de forma simétrica en dos.

Equiláteros grandes

Como vemos en los dos dibujos, hay dos familias de estos triángulos, cuyos ángulos de 60 divididos en dos partes están siempre en los vértices exteriores de la figura.

Es decir, que todos los ángulos de 30 grados están en los seis vértices exteriores. Observa que en los demás puntos de corte se forman ángulos mayores, como puedes deducir observando los triángulos que se forman con ellos.

Ángulos de 30

Además, en cada uno de los seis vértices se forman exactamente 4 ángulos, como puedes ver en la figura. Por lo tanto el número de ángulos de 30 grados es exactamente 24.