Raíces que suman enteros

Enunciado

Este problema despista un poco. Aparentemente no hay manera de simplificar la expresión, quitar las raíces, para sacar alguna conclusión sobre la si el resultado sale o no entero.

Sin embargo, a pesar de ser una suma, lo que inmediatamente nos puede venir a la cabeza al ver tantas raíces es "de alguna manera, hay que elevar al cuadrado".

Si el resultado de la expresión es un entero, su cuadrado también lo será (lo contrario no siempre es cierto). Veamos qué expresión tiene ese cuadrado.

Es sencillo comprobar que al elevar al cuadrado cada uno de los sumandos eliminamos la raíz externa, y las internas quedan sumadas con signo contrario, es decir, que se anulan. El valor de la suma de estos dos sumandos será sólo el número 25.

Pero, por ser una suma, al elevar al cuadrado sale un tercer sumando, el doble del producto. Y este término no elimina, aparentemente, las raíces. Estudiemos este producto. Podemos pasar el producto dentro de las raíces, donde nos encontramos que se trata de un producto de una suma por una diferencia. Este producto nos proporciona, por tanto, una diferencia de cuadrados. El primer cuadrado es 625/4, y el segundo (una raíz al cuadrado), 625/4 - n. Evidentemente, el resultado es n.

El cuadrado

Así, el cuadrado de esta expresión queda sorprendente simplificada hasta 25 más el doble de la raíz de n (ver expresión).

Esa expresión debe ser un cuadrado perfecto (el cuadrado de un número entero). Puesto que n es natural, si su raíz no fuese exacta, al multiplicarla por 2 y sumarla a 25 no podría dar un número entero, por lo que n debe ser un cuadrado perfecto. Y el doble de su raíz, sumado a 25, debe ser también un cuadrado perfecto. Además, n está limitado (no debe ser superior a la parte entera de 625/4, 156, ya que el cálculo de la expresión inicial sería imposible).

Veamos qué cuadrados mayores que 25 podemos obtener. El más próximo es 36, pero habría que sumar 11 a 25, y 11 es impar. El siguiente es 49, que obtendríamos de sumar 25 + 24, con lo que n sería 144, el cuadrado de 12. Evidentemente, con 64 tenemos un problema de paridad similar al de 36, y el siguiente, 81, hace que n sea excesivamente grande (81 = 25 + 2*28, y el cuadrado de 28 es mucho mayor que 156). Cuadrados mayores empeoran la situación.

Por tanto, el único resultado viable es n = 144. Podemos comprobar incluso mediante simples operaciones a mano que la expresión inicial es entera (vale 7, como estaba previsto).

Las expresiones usadas para la raíz no incluyen el doble signo, pues entonces podría haber cierta indeterminación en la expresión inicial. El problema sería ligeramente distinto si se tratara de una diferencia.

Juego de dados

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Lo que buscamos en realidad es estudiar en qué pares de números del 1 al 6 hay algún factor común entre los dos, para averiguar qué casos son más frecuentes. Supongamos que uno de los dados es de color verde, y su resultado lo situamos en primer lugar. Vemos que la probabilidad de un par de números ordenado es la misma que cualquier otro (2,4) tiene la misma probabilidad que (6, 6). La fracción será irreducible si el par de números son primos entre sí, y al contrario en otro caso.

Contemos los casos equiprobables a favor de la irreducibilidad. Si el primero de los dados saca un 1, la fracción es irreducible (6 casos). Si es un 2, habrá 3 casos (impares) en que sea. Si es un 3, otros 4 casos. Si un 4, otros 3 casos. si es un 5, tenemos 5 casos (sólo es reducible el 5), y si es un 6, tendremos 2 casos a favor (1 y 5). En total, 6 + 3 + 4 + 3 + 5 + 2 = 23. Como en total hay 36 casos distintos equiprobables, es más probable que salga irreducible, como dice José, que reducible.

Sólo sale reducible la fracción en 36 - 23 = 13 casos.

Carrera de robots

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Aparentemente, apenas hay diferencia entre los dos corredores. En una unidad de tiempo determinada, Chips bota dos veces, en las que recorre 3 + 3 = 6 metros, y Bits bota tres veces, recorriendo 2 + 2 + 2 = 6 metros.

La poca diferencia que hay entre ellos nos anima a apostar por el empate, pero la cosa cambia si nos fijamos en el recorrido de la prueba. En particular, cuando llegan al final del primer tramo y dan la vuelta. ¿Qué sucede?

Van empatados hasta los 96 metros. Ahí coinciden por última vez. Los dos siguientes saltos llevan a Bits hasta los 100 metros, da la vuelta y vuelve al punto 98 en los tres saltos de nuestra unidad de tiempo. Mientras tanto, Chips ha dado dos saltos. El primero le ha llevado al punto 99, pero aún no puede dar la vuelta. el siguiente salto le hace pasar la longitud hasta el 102, que es cuando puede girar. Pero Bits le lleva 4 metros de ventaja.

Esta ventaja es definitiva. A falta de 6 metros de Chips para la meta, Bits le sigue llevando 4 metros de ventaja, es decir, le faltan 2. Eso es un único salto para Bits, cruzará la meta mientras que Chips aún no habrá cubierto los 3 metros de su penúltimo salto.

En realidad, este es un problema de divisibilidad. Si la carrera hubiese sido propuesta a 99 metros, o a 105, habría ganado Chips. Sin embargo, los saltos más cortos y rápidos de Bits probablemente le den ventaja en la mayor parte de las carreras de ida y vuelta, si la distancia se coge "al azar".

Animales domésticos

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En este problema basta ser un poco ordenado, haciendo una tabla con la información, ya que en realidad se trata de que entre todos los animales sumen la cantidad total, y que cada cantidad de animales de un mismo tipo (perros, por ejemplo) sumen el total de perros, y que el total de animales que viven en una casa coincida con el que nos dicen. Pongamos la información que tenemos en una tabla (lo que no conocemos lo dejaremos en blanco).

	Total	Perros	Gatos	Canarios	Loros
Juana		0	4	2	0
Paula		1	2	0	0
María				3
Total	16	3	6

Ahora, podemos encontrar los totales de animales de las casas de Paula y Juana, así como los perros y gatos que hay en la casa de María, y los totales de canarios. Para terminar, necesitamos los datos que acabamos de conseguir para averiguar el total de animales que hay en casa de María (los que falten en las demás para llegar a 16), y de ahí el número de loros que tienen en casa de María. O bien, el número total de loros, que nos permite saber cuántos hay en casa de María (todos, ya que ninguna de las otras tiene loros).

	Total	Perros	Gatos	Canarios	Loros
Juana	6	0	4	2	0
Paula	3	1	2	0	0
María	7	2	0	3	2
Total	16	3	6	5	2

En definitiva, María tiene 2 perros y 2 loros, además de los 3 canarios.

La inecuación

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Este ejercicio parece, engañosamente, sencillo. Trabajar con valores absolutos, inecuaciones y dos variables (o un parámetro y una variable) no es complejo por separado, pero veremos que al unirse las tres situaciones genera un trabajo en el que hay que concentrarse mucho y no perder de vista las condiciones que vayamos fijando.

Voy a dar un sistema para resolverla basado en el estudio detallado de la expresión. Podemos tener la tentación de elevar al cuadrado con ánimo de quitar el valor absoluto, dado que ambos son positivos, pero, aunque podría dar también fruto, requiere un estudio muy cuidadoso del problema. Es difícil encontrar problemas en los que este método sea de aplicación.

Para empezar, un valor absoluto es una función definida a trozos, es decir, se transforma en dos expresiones según que lo que guarda en su interior sea positivo o negativo. Antes de empezar a considerar valores para el parámetro, estudiaremos las expresiones a las que da lugar.

También debemos observar que un valor absoluto siempre es no negativo (puede alcanzar el 0), lo que en ocasiones simplifica trabajar con expresiones en las que aparece. Prestaremos atención al significado de esto.

Por otra parte, las desigualdades nos permiten operar de forma similar a como lo haríamos con igualdades, salvo que cuando multiplicamos o dividimos hay que tener en cuenta el signo del factor que utilizamos, pues puede (si es negativo) invertir la desigualdad. Sucede lo mismo si invertimos (en el sentido de inverso de la multiplicación) las expresiones.

Vamos a estudiar lo que sucede cuando x > 1. En ese caso, la desigualdad equivale a x - 1 < ax, es decir, (1 - a)x < 1, que se resolverá de distinta forma según que a sea mayor o menor que 1.

¿Y si x < 1? Entonces, tenenos que 1 - x < ax, por lo que 1 < (a + 1)x. De nuevo tenemos que habrá que hacer distinciones según que a sea mayor o menor que -1.

También podemos ver que ax es necesariamente positiva (es mayor que un valor absoluto), por lo que eso puede influir en definir el signo de x. Tal vez convenga distinguir, por eso, el signo de a.

Empecemos a estudiar las diferentes opciones que se plantean teniendo en cuenta estos valores. Primer caso, si a es menor que -1.

En este caso, como ax es positiva, x < 0. Como es menor que 1, se da la segunda de las opciones estudiadas, por lo que 1 < (a + 1)x. al ser el coeficiente de x negativo, tenemos que 1/(a + 1) > x. Eso quiere decir que x puede ser cualquier número negativo menor (mayor en valor absoluto) que 1/(a + 1).

Segundo caso, si a está comprendida entre -1 y 0 (-1 <= a < 0).

También x es negativa, por lo que es menor que 1, pero al llegar a 1 < (a + 1)x, el coeficiente es positivo, por lo que 1/(a + 1) < x. Pero eso significa que x es positivo, por lo que no hay soluciones.

En el caso a = -1 no hay soluciones, como puedes comprobar fácilmente.

Tercer caso, 0 <= a < 1.

El caso en que a = 0 no tiene tampoco soluciones, pues ax debe ser estrictamente positivo. Pero si a > 0, x también es positiva, y pueden darse dos casos. Si 0 < x < 1, llegamos a 1 < (a + 1)x, como antes, por lo que 1/(a + 1) < x < 1, que es un intervalo pequeño de soluciones. Pero también puede ser que x >= 1, con lo que (1 - a)x < 1. Esto, por ser a < 1, nos lleva a 1 <= x < 1/(1 - a). En definitiva, que 1/(a + 1) < x < 1/(1 - a) uniendo ambos intervalos.

Cuarto caso, 1 <= a.

De nuevo, tenemos que distinguir si x, que es positivo, es menor o mayor que 1. Si 0 < x < 1, tenemos que 1 < (a + 1)x, y de nuevo 1/(a + 1) < x < 1 es un intervalo de soluciones. Si x >= 1, entonces (1 - a)x < 1, pero en ese caso, al ser a > 1, el coeficiente es negativo, y x es positiva, según hemos dicho, por lo que la igualdad se cumple para cualquier x >= 1. La unión de los intervalos nos da la solución que 1/(a + 1) < x.

El apartado b), el estudio de las dos soluciones enteras, se limita al caso en que 0 < a < 1, y los valores enteros deben ser 1 y 2 (ya que el intervalo de soluciones siempre empieza por debajo de 1, y deben ser enteros consecutivos). Por eso, 1/(1 - a) estará entre 2 y 3, sin alcanzar ninguno de los dos. Operando con desigualdades, eso nos lleva a que a está entre 1/2 y 2/3.

La diana (nivel 2)

Enunciado

Respondamos primero a la pregunta a), de la misma forma que se hizo con el problema de primer ciclo La diana.

Está claro que se pueden obtener los primeros 12 valores, del 1 al 12, puesto que hay casillas que los representan individualmente.

Los valores entre el 12 y el 24 se pueden obtener sólo a partir de anillos de puntuación especial, por lo que sólo se alcanzarán aquellos que sean dobles (múltiplos de 2 o pares) o triples (múltiplos de 3) de algo. Podemos hacer una criba marcando los que podemos conseguir o enumerarlos aplicándoles un criterio de divisibilidad. Nos quedan como imposibles el 13, el 17, el 19 y el 23.

A partir del 24 no se pueden alcanzar con dobles, de forma que sólo hay que eliminar de la lista aquellos que sean múltiplos de 3 (triples). Serán imposibles el 25, 26, 28, 29, 31, 32, 34 y 35.

La lista completa es, por tanto, 13, 17, 19, 23, 25, 26, 28, 29, 31, 32, 34 y 35.

La pregunta b) También se puede responder analizando el problema en tres zonas distintas.

Los puntos por encima de 24 sólo se pueden conseguir de una única manera (como triples), por lo que ninguno de ellos será de este tipo.

Entre 13 y 24, los puntos se pueden conseguir como dobles o como triples, por lo que los que se pueden obtener de dos formas distintas son a la vez dobles (múltiplos de 2) y triples (múltiplos de 3). Es decir, son múltiplos de 6. Sólo hay dos de estos valores, el 18 y el 24.

Por debajo de 13, los puntos se pueden conseguir simples, dobles o triples. Anotaremos entonces como puntos que se pueden obtener de dos formas los dobles (que no sean múltiplos de 3) y los triples (que no sean dobles). Tenemos, por tanto, 2, 3, 4, 8, 9 y 10.

La lista completa es, por tanto, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 18 y 24.

Para responder a la pregunta c) nos debemos concentrar en la zona entre 1 y 12 puntos, ya que por encima de 13 sólo se pueden conseguir de dos formas distintas.

Evidentemente, de tres formas sólo se puede conseguir el 6 y el 12, pues son los únicos múltiplos de 6 (dobles y triples a la vez) menores que 13.

La diana

Enunciado

Está claro que se pueden obtener los primeros 12 valores, del 1 al 12, puesto que hay casillas que los representan individualmente.

Los valores entre el 12 y el 24 se pueden obtener sólo a partir de anillos de puntuación especial, por lo que sólo se alcanzarán aquellos que sean dobles (múltiplos de 2 o pares) o triples (múltiplos de 3) de algo. Podemos hacer una criba marcando los que podemos conseguir o enumerarlos aplicándoles un criterio de divisibilidad. Nos quedan como imposibles el 13, el 17, el 19 y el 23.

A partir del 24 no se pueden alcanzar con dobles, de forma que sólo hay que eliminar de la lista aquellos que sean múltiplos de 3 (triples). Serán imposibles el 25, 26, 28, 29, 31, 32, 34 y 35.

La lista completa es, por tanto, 13, 17, 19, 23, 25, 26, 28, 29, 31, 32, 34 y 35.

Monedas en los bolsillos

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Lo primero que debemos hacer en un ejercicio en el que salen números (relativamente) altos, es jugar con un ejemplo más sencillo. Si Roberto sólo tuviese 3 bolsillos, por ejemplo, ¿Cuántas monedas necesita para tener una cantidad distinta en cada bolsillo?

En ese caso, mucho más sencillo, podemos no poner ninguna moneda en un bolsillo, una en otro y dos en el otro, lo que hace un total de 3 monedas.

No se puede hacer con menos, ya que si en todos los bolsillos hay monedas, podríamos sacar una de cada y seguiría habiendo una cantidad distinta en cada uno. Por eso hay un bolsillo en el que no hay ninguna. Por razones similares, hace falta que un bolsillo tenga una única moneda, y así sucesivamente.

En el caso de tener 10 bolsillos, le harían falta 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 9. Si te da pereza hacer la suma, fíjate que podemos agruparlas de forma que 0 + 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + ... + 4 + 5, es decir que cada 2 sumen 9, y como son 5 pares, pues está claro que necesita 45 (5*9). Es decir, que no lo conseguirá con sólo 44 monedas.