Se busca un triángulo

Enunciado

Antes de empezar, hay que recordar que si conoces la suma de dos números y su producto, es sencillo averiguar los números. Evidentemente, puedes hacer un sistema, pero no es el método más eficaz.

El sistema más directo consiste en escribir una ecuación de segundo grado de la forma x² - Sx + P = 0, donde S representa la suma y P el producto. Según habréis estudiado en la resolución de la ecuación de segundo grado, las soluciones de esa ecuación cumplirán que S será su suma y P su producto.

Insisto en que el problema se podría resolver como un sistema de ecuaciones, pero sería más largo.

Como se trata de un triángulo rectángulo, su área se puede calcular multiplicando ambos catetos o la hipotenusa por la altura conocida, de forma que sabemos que a*b = c*96/5 (donde a y b son los catetos y c la hipotenusa.

Como el perímetro es 96, sabemos que a + b + c = 96, es decir, a + b = 96 - c.

Por último, el Teorema de Pitágoras, que dice que a² + b² = c². Combinando la segunda ecuación con la tercera, (a + b)² = a² + b² + 2ab = (96 - c)² = 96² + c² - 192c. Como toda la expresión podemos remitirla a los valores de c, tenemos que c² + 2*c*96/5 = 96² + c² - 192c.

De esta igualdad obtenemos una ecuación de primer grado en c, c*2*96*(1 + 1/5) = 96², de donde c*2*6/5 = 96, por lo que c = 40.

A partir de ahí, a + b = 56 y a*b = 768, por lo que son las soluciones de la ecuación x² - 56x + 768 = 0, que son 32 y 24.

Por lo tanto, los lados son 24, 32 y 40.

El tren

Enunciado

El problema es un sencillo problema de sucesiones, en realidad. O de sistemas de ecuaciones, si se quiere ver así.

En cada parada, el número de personas total del tren aumenta en 3 personas, mientras que la recaudación aumenta en 3,9*5 = 19,5 euros.

Sin embargo, hay un dato desconocido, y es cuántos pasajeros había en principio (x), y la recaudación inicial, 3,9x.

Como los datos que tenemos es el número total de pasajeros a su llegada, y la recaudación final, es sencillo plantear el sistema.

Otra manera de verlo es realizar el trayecto al revés. Imagina que recorres el trayecto al contrario, descontando 19,5 euros en cada parada, y disminuyendo el número de pasajeros en 3. Cuando te coincida la cantidad de pasajeros con el precio del billete que deben pagar (3,9 cada uno), estaremos en nuestro destino.

Aún podemos abordarlo de otra forma, con la recaudación final (569,4 euros) se han pagado exactamente 569,4/3,9 = 146 billetes. Como en Valencia sólo quedan 124 a bordo, hay 146 - 124 = 22 pasajeros que se han ido bajando en las estaciones intermedias. Eso supone que hay 11 estaciones intermedias, puesto que en cada una han bajado 2 personas.

Este razonamiento es el que más me ha gustado de los planteados en los comentarios.

El vendedor

Enunciado

Es una pregunta sobre semejanza. Aunque a mucha gente no le parezca intuitivo, cuando construimos figuras semejantes, las relaciones entre distancias y longitudes son proporcionales, es decir, existe una constante, llamada factor de semejanza o proporcionalidad, que resulta de el cociente de longitudes correspondientes en las dos figuras semejantes. Si embargo, dividir áreas en las dos figuras da lugar al mismo factor al cuadrado, y si fuesen volúmenes, al cubo.

Al cambiar el cordel por otro de longitud doble, la cuerda que rodea a los troncos de regaliz es una figura semejante (pues es un círculo de doble longitud). Y la razón es 2, pues es lo que obtenemos al dividir las longitudes de las circunferencias.

Sin embargo, el número de trozos de regaliz que podemos meter depende del área, y por lo tanto, su cociente dará un resultado de 2*2 = 4. Eso quiere decir que una cuerda de doble longitud une 4 veces más troncos de regaliz (y, claro, si fuese el triple de larga, uniría 9 veces más troncos).

Hace falta llegar puntualmente

Enunciado

En los comentarios al enunciado se explica bastante bien la solución, que tampoco tiene demasiada explicación posible.

En una semana, hay 7 días, que son 24*7 = 168 horas. Como cada hora retrasa 5 segundos, se retrasará 168*5 = 840 segundos, que son 840/60 = 14 minutos, por lo que el reloj señalará exactamente las 23:46, es decir, faltarán 14 minutos para las 00:00.

Conjuntos de impares

Enunciado

Es difícil encontrar una explicación mejor que la que hacen en los comentarios del enunciado, me ha sido de mucha utilidad.

En principio, este problema se aborda estudiando la suma total del conjunto, y para esto se recurre a la suma de una progresión aritmética, o lo que es lo mismo, a agrupar en pares empezando desde los dos extremos, de forma que cada par sume lo mismo. Obtenemos n/2 pares de números (y medio par, o, lo que es lo mismo, la mitad de la suma).

De esta forma, llegamos a la conclusión de que la suma de todos los elementos del conjunto I_n es 2n*n/2 = n².

Evidentemente, encontrar dos grupos de enteros que sumen la mitad de esta cifra será imposible si n es impar, porque n² será impar.

En caso que sea par, ya que tenemos agrupados los números por parejas que suman lo mismo, sería cómodo encontrar dos conjuntos que tuviesen la misma cantidad de parejas, pero esto sólo es posible en el caso en que n sea múltiplo de 4, por lo que podemos afirmar que el problema está ya solucionado en ese caso (n múltiplo de 4), ya que separaremos fácilmente el conjunto en dos subconjuntos que suman lo mismo.

En el caso en que n sea par pero no múltiplo de cuatro (n= 4k - 2) debemos tantear un poco más. Es fácil ver que para n = 2 no es posible, pero rápidamente podemos encontrar particiones para n = 6 y n = 10. De hecho, podemos encontrar una partición muy sencilla, suponiendo que tenemos repartidos en dos conjuntos de igual suma los del múltiplo de 4 anterior, ya que bastaría ubicar con acierto los impares 8k + 1 y 8k + 3. La idea que da Lluis en su comentario es una de las más sencillas, ponemos 8k + 3 en el conjunto en el que esté el 1, a este número lo cambiamos de conjunto y 8k + 1 lo añadimos en el otro. De esta forma, la suma de ambos conjuntos se incrementa en 8k + 2, y por lo tanto suman lo mismo.

Así pues, es posible descomponer I_n en dos conjuntos de la misma suma para todo n par mayor de 2, e imposible en caso contrario.

Cuadrado y triángulo

Enunciado

En los comentarios del enunciado se dan suficientes soluciones, trataré sólo de aclararlas un poco.

Calcular directamente el área del triángulo es complicado, pero calcular la diferencia se trata únicamente de calcular el área de tres triángulos rectángulos, de los que dos son iguales (en el dibujo original, en azul).

Para este cálculo, sólo necesitamos una única longitud, que puede ser la que nos da un cateto del triángulo rectángulo isósceles. En cuanto tengamos esa medida, llamémosla x, el área del triángulo isósceles es x*x/2, y la de los triángulos rectángulos iguales será 2*(1-x)*1/2 = 1 - x, es decir, que el área total del triángulo será 1 - x*x/2 - (1 - x) = x - x*x/2.

Ahora, vamos a calcular x. Sabemos que el triángulo equilátero (el rojo en el enunciado) tiene todos sus lados iguales, y por el Teorema de Pitágoras, al ser el lado la hipotenusa de ambos tipos de triángulos, se tiene que 2*x² = (1 - x)² + 1, de donde, si desarrollamos la ecuación y la convertimos en una ecuación de segundo grado, queda x² + 2x - 2 = 0, que tiene las soluciones -1 + √3 y -1 - √3. La segunda es negativa, por lo que no tiene sentido en este problema, de forma que tenemos que x = √3 - 1.

Como ya hemos visto, entonces el área del triángulo equilátero es x - x*x/2, es decir, √3 - 1 - (4 - 2√3)/2 = 2√3 - 3, que vale aproximadamente 0,4641 unidades cuadradas.

La edad de la abuela de María

Enunciado

El resultado se ha comentado en el primer comentario a la entrada. Lo cierto es que lo más complicado del ejercicio es entender que si un número lo elevas al cuadrado y lo vuelves a elevar, esta vez a la cuarta, es como si desde el principio lo hubieses elevado a ocho.

Después le sacas la raíz cuadrada, pero eso significa que lo dejas elevado a cuatro, puesto que elevar a cuatro y al cuadrado, también da lo mismo que elevado a ocho.

Por último, el número, que estaba elevado a cuatro, lo divides por él mismo, de forma que queda el mismo número elevado al cubo (a 3).

A partir de ahí se trata de buscar un número que al elevarlo a 3 dé como resultado un número de seis cifras que empieza por 3 y acaba por 8. De todos las últimas cifras posibles, la única que puede dar lugar a un 8 es un 2, como se puede comprobar rápidamente.

Pero si nos fijamos, el cubo de 62 es demasiado pequeño (238328) y el de 82 demasiado grande (551368). El único resultado, por lo tanto que encaja, es 72, que da 373248.

Por lo tanto, en efecto, la edad de la abuela de María es 72 años.

Torre de cubos

Enunciado

Lo mejor es estudiar cada piso por separado. Cada torre equivale a los pisos superiores de una torre muy grande, de forma que podemos empezar por el cubito que empieza en la torre superior.

Observamos que tiene una cara descubierta superior, dos que se ven en la imagen y dos por "detrás". En total, en ese piso podremos pegar 5 pegatinas.

En el segundo piso sólo hay dos caras visibles en la parte superior, cuatro al frente y cuatro por detrás, de forma que necesitamos 10 pegatinas (¡el doble!).

En el tercero, serán tres en la parte superior, seis en la lateral y seis por detrás, es decir, quince más.

Está claro que podemos crear una fórmula fácilmente para cada piso, 5*piso. Y comprobamos que funciona.

Ahora bien, una torre de un piso necesita 5 pegatinas.

Una torre de dos pisos, 5 + 10 = 15 pegatinas.

Una de tres pisos, 5 + 10 + 15 = 30 pegatinas.

Una de cuatro (como la del ejemplo), 30 + 20 = 50 pegatinas.

Podemos seguir rápidamente hasta 180, ya que 50 + 25 = 75, 75 + 30 = 105, 105 + 35 = 140 y 140 + 40 = 180, que será una torre de 8 pisos.

Para construir una fórmula necesitamos que la fórmula nos sume los múltiplos de 5.

Este tipo de fórmulas es parecido a sumar números consecutivos. Existe un truco muy sencillo que es agrupar los números que tenemos al principio y al final, y emparejar así a todos.

De esta forma 5 + 10 + 15 + ... + 60 + 65 = (5 + 65) + (10 + 60) + (15 + 55) + ... y todas suman lo mismo.

¿Cuántas parejas habrá? pues la mitad que los pisos que tenemos que sumar. Así si llamamos N al número de pisos, el piso que más pegatinas lleva es el de abajo, que llevará N*5, y la suma será (5 + 5*N)*N/2.

Comprobamos que funciona. Si N = 1, sabemos que son 5 pegatinas, y la fórmula da (5 + 5)*1/2 = 5.

Si N = 2, son 15 las pegatinas y la fórmula da (5 + 10)*2/2 = 15.

Para N = 3, la fórmula da (5 + 15)*3/2 = 30.

Puedes comprobar que la fórmula encaja con todos los casos que quieras.