Conjuntos de impares

Enunciado

Es difícil encontrar una explicación mejor que la que hacen en los comentarios del enunciado, me ha sido de mucha utilidad.

En principio, este problema se aborda estudiando la suma total del conjunto, y para esto se recurre a la suma de una progresión aritmética, o lo que es lo mismo, a agrupar en pares empezando desde los dos extremos, de forma que cada par sume lo mismo. Obtenemos n/2 pares de números (y medio par, o, lo que es lo mismo, la mitad de la suma).

De esta forma, llegamos a la conclusión de que la suma de todos los elementos del conjunto I_n es 2n*n/2 = n².

Evidentemente, encontrar dos grupos de enteros que sumen la mitad de esta cifra será imposible si n es impar, porque n² será impar.

En caso que sea par, ya que tenemos agrupados los números por parejas que suman lo mismo, sería cómodo encontrar dos conjuntos que tuviesen la misma cantidad de parejas, pero esto sólo es posible en el caso en que n sea múltiplo de 4, por lo que podemos afirmar que el problema está ya solucionado en ese caso (n múltiplo de 4), ya que separaremos fácilmente el conjunto en dos subconjuntos que suman lo mismo.

En el caso en que n sea par pero no múltiplo de cuatro (n= 4k - 2) debemos tantear un poco más. Es fácil ver que para n = 2 no es posible, pero rápidamente podemos encontrar particiones para n = 6 y n = 10. De hecho, podemos encontrar una partición muy sencilla, suponiendo que tenemos repartidos en dos conjuntos de igual suma los del múltiplo de 4 anterior, ya que bastaría ubicar con acierto los impares 8k + 1 y 8k + 3. La idea que da Lluis en su comentario es una de las más sencillas, ponemos 8k + 3 en el conjunto en el que esté el 1, a este número lo cambiamos de conjunto y 8k + 1 lo añadimos en el otro. De esta forma, la suma de ambos conjuntos se incrementa en 8k + 2, y por lo tanto suman lo mismo.

Así pues, es posible descomponer I_n en dos conjuntos de la misma suma para todo n par mayor de 2, e imposible en caso contrario.