viernes, 1 de octubre de 2010

Torre de cubos

Enunciado

Lo mejor es estudiar cada piso por separado. Cada torre equivale a los pisos superiores de una torre muy grande, de forma que podemos empezar por el cubito que empieza en la torre superior.

Observamos que tiene una cara descubierta superior, dos que se ven en la imagen y dos por "detrás". En total, en ese piso podremos pegar 5 pegatinas.

En el segundo piso sólo hay dos caras visibles en la parte superior, cuatro al frente y cuatro por detrás, de forma que necesitamos 10 pegatinas (¡el doble!).

En el tercero, serán tres en la parte superior, seis en la lateral y seis por detrás, es decir, quince más.

Está claro que podemos crear una fórmula fácilmente para cada piso, 5*piso. Y comprobamos que funciona.

Ahora bien, una torre de un piso necesita 5 pegatinas.

Una torre de dos pisos, 5 + 10 = 15 pegatinas.

Una de tres pisos, 5 + 10 + 15 = 30 pegatinas.

Una de cuatro (como la del ejemplo), 30 + 20 = 50 pegatinas.

Podemos seguir rápidamente hasta 180, ya que 50 + 25 = 75, 75 + 30 = 105, 105 + 35 = 140 y 140 + 40 = 180, que será una torre de 8 pisos.

Para construir una fórmula necesitamos que la fórmula nos sume los múltiplos de 5.

Este tipo de fórmulas es parecido a sumar números consecutivos. Existe un truco muy sencillo que es agrupar los números que tenemos al principio y al final, y emparejar así a todos.

De esta forma 5 + 10 + 15 + ... + 60 + 65 = (5 + 65) + (10 + 60) + (15 + 55) + ... y todas suman lo mismo.

¿Cuántas parejas habrá? pues la mitad que los pisos que tenemos que sumar. Así si llamamos N al número de pisos, el piso que más pegatinas lleva es el de abajo, que llevará N*5, y la suma será (5 + 5*N)*N/2.

Comprobamos que funciona. Si N = 1, sabemos que son 5 pegatinas, y la fórmula da (5 + 5)*1/2 = 5.

Si N = 2, son 15 las pegatinas y la fórmula da (5 + 10)*2/2 = 15.

Para N = 3, la fórmula da (5 + 15)*3/2 = 30.

Puedes comprobar que la fórmula encaja con todos los casos que quieras.