Se busca un triángulo

Enunciado

Antes de empezar, hay que recordar que si conoces la suma de dos números y su producto, es sencillo averiguar los números. Evidentemente, puedes hacer un sistema, pero no es el método más eficaz.

El sistema más directo consiste en escribir una ecuación de segundo grado de la forma x² - Sx + P = 0, donde S representa la suma y P el producto. Según habréis estudiado en la resolución de la ecuación de segundo grado, las soluciones de esa ecuación cumplirán que S será su suma y P su producto.

Insisto en que el problema se podría resolver como un sistema de ecuaciones, pero sería más largo.

Como se trata de un triángulo rectángulo, su área se puede calcular multiplicando ambos catetos o la hipotenusa por la altura conocida, de forma que sabemos que a*b = c*96/5 (donde a y b son los catetos y c la hipotenusa.

Como el perímetro es 96, sabemos que a + b + c = 96, es decir, a + b = 96 - c.

Por último, el Teorema de Pitágoras, que dice que a² + b² = c². Combinando la segunda ecuación con la tercera, (a + b)² = a² + b² + 2ab = (96 - c)² = 96² + c² - 192c. Como toda la expresión podemos remitirla a los valores de c, tenemos que c² + 2*c*96/5 = 96² + c² - 192c.

De esta igualdad obtenemos una ecuación de primer grado en c, c*2*96*(1 + 1/5) = 96², de donde c*2*6/5 = 96, por lo que c = 40.

A partir de ahí, a + b = 56 y a*b = 768, por lo que son las soluciones de la ecuación x² - 56x + 768 = 0, que son 32 y 24.

Por lo tanto, los lados son 24, 32 y 40.