Triángulos enteros

Enunciado

Si probamos a crear triángulos con lados de longitud entera, pronto nos daremos cuenta de que el lado más largo ha de ser más corto que la suma de los otros dos, porque en caso contrario no podemos unir el vértice contrario.

Si el lado más largo valiese 6 (o más) unidades, como en total han de sumar 12, los otros lados no podrían ser en total más largos, pues sólo podrían llegar a sumar 6.

Por lo tanto, el lado más largo sólo puede valer 5 unidades (a lo sumo). En ese caso, los otros dos han de ser menores o iguales que 5 (claro, porque son más cortos) y sumar 7. Sólo hay dos casos: 5, 4 y 3 y el caso 5, 5 y 2.

Si el lado más largo mide 4, los otros dos han de sumar 8 y ser menores o iguales que 4, es decir, que sólo puede ser 4, 4 y 4.

Si intentamos hacer un triángulo de lado mayor inferior a 4, no podremos sumar 12, porque los tres lados serían menores que cuatro. Por tanto los tres casos citados son los únicos.

¿Cuál tendrá el área mayor?

Si queremos calcular el área de los tres, para compararlos, hay que aplicar el teorema de Pitágoras.

rectángulo

El primero de los triángulos (5,4,3) debería ser conocido, porque 5² = 4² + 3². Eso quiere decir que es un triángulo rectángulo, es decir, que si dejamos de base uno de los lados cortos, el otro es una altura (ver dibujo). Por eso, su área es 3*4/2 = 6 centímetros al cuadrado.

isósceles

El segundo de los triángulos (5,5,2) es isósceles. Dibujándolo con la base corta, podemos dividirlo por la altura en dos triángulos rectángulos iguales, cuya altura es un cateto y la altura del triángulo completo. Por simetría, el cateto de la base mide 1 cm., y aplicando pitágoras, obtenemos que la altura al cuadrado es igual a 25 - 1 = 24. Eso quiere decir que la altura mide la raíz cuadrada de 24 (en centímetros), y para hallar el área del triángulo hay que multiplicarla y dividirla por 2, es decir, que su área es raíz cuadrada de 24 centímetros cuadrados. Está claro que es menor que 6, porque 6 es la raíz cuadrada de 36.

equilátero

El tercero de los triágulos (4,4,4) es equilátero, así que le podemos aplicar un método similar al anterior, dividiéndolo en dos triángulos rectángulos. En este caso, la altura al cuadrado sería igual a 16 - 4, es decir, 12. Así que la altura sería raíz cuadrada de 12. Para hallar el área, habría que multiplicarla por 4 y dividirla por 2, con lo que quedaría que el área mide 2 por la raíz de 12 en centímetros cuadrados (equivale a 4 por raíz de 3). Para comparar este valor con 6, sólo hay que ver que 6 es 2 por 3, y que 3 es menor que la raíz de 12 (3 es la raíz de 9).

Por tanto, el triángulo de mayor área es el equilátero (4,4,4).

Actualización: He corregido un par de cálculos en los que me había equivocado, al aplicar el teorema de Pitágoras al revés. Ahora es correcto. Pido disculpas.